[논문 리뷰] New Two Step Laplace Adam-Bashforth Method for Integer an Non integer Order Partial Differential Equations

Rodrigue Gnitchogna Batogna, Abdon Atangana|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 04.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 정수계 및 분수계 편미분방정식(PDEs)을 해결하기 위한 새로운 이단계의 라플라스-아담-바쉬포스 방법을 제안한다. 라플라스 변환과 라플라스 공간 내의 아담-바쉬포스 스킴을 조합함으로써, 분수계 PDE 해법에서 흔히 나타나는 복잡한 합성항을 제거하여 효율적이고 안정적이며 수렴하는 수치적 해를 가능하게 한다. 이 방법은 고전적이고 분수계 PDE 모두에서 높은 정확도와 계산의 단순성을 보여준다.

ABSTRACT

This paper presents a novel method that allows to generalise the use of the Adam-Bashforth to Partial Differential Equations with local and non local operator. The Method derives a two step Adam-Bashforth numerical scheme in Laplace space and the solution is taken back into the real space via inverse Laplace transform. The method yields a powerful numerical algorithm for fractional order derivative where the usually very difficult to manage summation in the numerical scheme disappears. Error Analysis of the method is also presented. Applications of the method and numerical simulations are presented on a wave-equation like, and on a fractional order diffusion equation.

연구 동기 및 목표

• 원래 미분방정식(ODEs)에 대해 사용되던 아담-바쉬포스 스킴을 국소적 및 비국소적 연산자를 가진 편미분방정식으로 확장하기.
• 기존 수치적 기법으로서 분수계 PDE 해법에서 발생하는 커플런형 항을 다루는 계산의 어려움을 해결하기.
• 정수계 및 분수계 편미분방정식 모두에 대해 안정적이고 수렴하며 계산 효율성이 높은 수치 알고리즘 개발하기.
• 라플라스 공간으로 문제를 변환함으로써 분수도 도함수의 수치적 처리를 단순화하고 번거로운 합성항을 피하기.

제안 방법

• 방정식에 라플라스 변환을 적용하여 시간에 대한 1차 미분방정식으로 PDE를 변환함으로써, PDE를 시간에 대한 1차 ODE로 단순화한다.
• 라그랑주 보간법을 사용하여 라플라스 공간 내에서 오른쪽 항 함수를 근사함으로써 이중단계 아담-바쉬포스 스킴을 수립한다.
• 라플라스 공간에서 유도된 수치적 스킴을 역라플라스 변환을 통해 실공간으로 복원하여 해를 얻는다.
• 분수계 PDE의 경우 캡토 도함수를 사용하고, 시간 스텝을 위한 스킴을 유도하기 위해 분수적 적분 연산자를 적용한다.
• 표준적인 커플런 합을 피하기 위해 라플라스 변환의 특성을 활용함으로써, 기존의 복잡한 구현을 단순화한다.
• 바르르-뉴만 분석을 통해 푸리에-라플라스 공간에서 안정성을 분석하고, 시간 스텝과 공간 그리드 크기 사이의 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아담-바쉬포스 스킴은 정수계 및 비정수계 도함수를 가진 편미분방정식으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 라플라스 변환과 아담-바쉬포스 스킴을 조합함으로써 분수계 PDE 해법에서 복잡한 합성항의 필요성을 제거할 수 있는가?
• RQ3 유도된 수치적 스킴은 고전적 및 분수계 PDE 모두에 대해 안정적이고 수렴하는가?
• RQ4 분수계 PDE에 대해 크랭크-니콜슨 또는 유한차분 방법과 비교했을 때, 이 방법은 정확도와 효율성 면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 라플라스 변환을 통해 아담-바쉬포스 스킴이 정수계 및 분수계 도함수를 가진 PDE에 성공적으로 일반화되었다.
• 수치적 스킴은 분수계 PDE 해법에서 흔히 나타나는 계산 비용이 큰 커플런 합을 피함으로써 구현을 크게 단순화시켰다.
• 안정성 분석 결과, 조건 $ \frac{h^\alpha}{l^2} < \frac{\Gamma(\alpha)}{2d\delta_n^\alpha} $ 하에서 스킴이 조건부로 안정적이며, 모든 $ n $ 에 대해 $ |u_n| < |u_0| $ 를 보장한다.
• 파동방정식과 분수계 확산방정식에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 빠른 수렴성과 높은 정확도를 입증하였다.
• 실공간에서의 해를 복원하기 위해 역라플라스 변환을 적용하였고, 이는 스킴의 효율성과 안정성을 유지한다.
• 도식적 결과는 지수 및余弦 초기/경계 조건에 대해 정확한 해와 근사 해 사이에 뛰어난 일치를 보였다.