[논문 리뷰] New Volume Comparison results and Applications to degeneration of Riemannian metrics

Qi S. Zhang, Meng Zhu|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 30.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 벡터장이 포함된 일반화된 리치 곡률 조건을 도입하여, 박리-에메리 조건을 초월해 원래 다성분의 위상에서 직접 체적 비교, 라플라스 연산자 비교, 기울기 유계성 결과를 확립한다. 주요 기여는 잠재 함수의 기울기에서의 특이성을 允허하는 더 약한 조건 하에서 체적 비율의 거의 단조성과 수렴 결과를 증명한 것이다. 이는 메트릭의 붕괴 및 리치 솔리톤에 대한 새로운 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider a condition on the Ricci curvature involving vector fields, which is broader than the Bakry-Émery Ricci condition. Under this condition volume comparison, Laplacian comparison, isoperimetric inequality and gradient bounds are proven on the manifold. Specializing to the Bakry-Émery Ricci curvature condition, we initiate an approach to work on the original manifold, which yields, under a weaker than usual assumption, the results mentioned above for the {\it original manifold}. These results are different from most well known ones in the literature where the conclusions are made on the weighted manifold instead. Applications on convergence and degeneration of Riemannian metrics under this curvature condition are given. To this effect, in particular for the Bakry-Émery Ricci curvature condition, the gradient of the potential function is allowed to have singularity of order close to $1$ while the traditional method of weighted manifolds allows bounded gradient. This approach enables us to extend some of the results in the papers \cite{Co}, \cite{ChCo2}, \cite{zZh}, \cite{TZ} and \cite{WZ}. The condition also covers general Ricci solitons instead of just gradient Ricci solitons.

연구 동기 및 목표

• 벡터장을 포함한 더 넓은 리치 곡률 조건 하에서 체적 비교와 기울기 추정을 개발함으로써 박리-에메리 조건을 일반화한다.
• 가중 다성분이 아닌 원래 다성분에서 결과를 확립하여 잠재 함수의 기울기 유계성이 필요 없도록 한다.
• 이전에 요구된 것보다 더 약한 조건 하에서 리만 메트릭의 수렴 및 붕괴 결과를 확장한다.
• 기존의 메트릭 콘, 특이 집합 크기, $oldsymbol{ ho}$-스플릿 맵에 대한 결과를 잠재 함수의 기울기가 유계가 아닐 경우로 확장한다.
• 특수한 기울기 리치 솔리톤이 아닌 일반 리치 솔리톤에 대해서도 새로운 곡률 조건 하에서 이론을 적용할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 수정된 리치 곡률 조건 도입: $ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$이며, 여기서 $V$는 미분 가능 벡터장이고 $ancyscript{L}_V g$는 리 도함수이다.
• 일반화된 라플라스 비교와 세그먼트 부등식 기법을 사용하여 이 조건 하에서 체적 비교 정리를 증명한다.
• 열핵 유계성과 컷오프 함수를 통해 국소 등각 및 소볼레프 상수 추정을 확립한다.
• 수정된 곡률 조건과 초과 추정을 이용하여 기울기 추정과 평균값 부등식을 유도한다.
• $oldsymbol{ ho}$-스플릿 맵과 초과 추정을 사용하여 접선 콘과 특이 집합의 구조를 분석한다.
• 환형 체적 비교와 반복 부등식을 활용하여 체적 비율의 거의 단조성을 증명하고, 이로 인해 메트릭 콘 수렴을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠재 함수의 기울기가 무한대일 수 있는 일반화된 리치 곡률 조건 하에서 원래 다성분에서 체적 비교와 기울기 유계성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 수정된 리치 곡률 조건 $ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$가 $| abla L|$ 유계성이 없더라도 원래 다성분에서 비숍-그로모프 유형의 체적 단조성을 보장하는가?
• RQ3 잠재 함수의 기울기 특이성이 1에 가까운 경우에 대해 붕괴하는 리만 메트릭의 수렴 정리를 이전보다 더 약한 조건 하에서도 확장할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 곡률 조건을 만족하는 다성분 수열의 접선 콘이 이전에 알려진 것보다 더 약한 조건 하에서 메트릭 콘이 되는가?
• RQ5 이 곡률 프레임워크 하에서 특수한 기울기 리치 솔리톤이 아닌 일반 리치 솔리톤에도 이 이론을 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 리치 곡률 조건 $ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$ 하에서, $| abla L|$이 무한대일 수 있음에도 불구하고 원래 다성분에서 체적 비교 정리가 성립함을 증명하였다.
• 기존의 가중 다성분 방법보다 더 약한 조건 하에서 비숍-그로모프 정신의 체적 비율 $rac{ ext{Vol}(B(x,r))}{ ext{Vol}( ext{B}_{ ext{model}}(r))}$ 의 거의 단조성을 증명하였다.
• 곡률 및 기하적 유계성 조건을 만족하는 다성분 수열에 대해 접선 콘이 메트릭 콘이 됨을 보였으며, [Co], [ChCo2], [TZ], [WZ]의 결과를 확장하였다.
• 한계 공간에서 특이 집합의 크기가 제어되며, 곡률과 차원에 따라 일관된 상한이 존재함을 보였다.
• 기존의 가중 다성분 이론이 기울기 유계성을 요구하는 데 반해, 본 방법은 잠재 함수의 기울기 특이성의 순서까지 $1 - rac{1}{n}$ 허용한다.
• 벡터장 $V$를 곡률 조건에 직접 사용함으로써 일반 리치 솔리톤에 대해서도 결과가 적용 가능하다.