[논문 리뷰] Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties and string polytopes for generalized Demazure modules

Naoki Fujita|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 31.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 24인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 Bott-Samelson 다양체에 대한 Newton-Okounkov body와 Demazure 모듈러스에 대한 일반화된 스트링 폴리토프 사이의 직접적 대응을 수립하며, 특정 평가에 있어서 두 구성 방식이 동일한 볼록체를 유도함을 증명한다. 이는 스트링 폴리토프 이론을 표준 Demazure 모듈러스를 초월하여 일반화된 모듈러스로 확장하며, 관련된 계량군의 유한 생성성을 통해 결과로 얻어진 체가 유리 볼록체임을 보여준다.

ABSTRACT

A Newton-Okounkov convex body is a convex body constructed from a projective variety with a valuation on its homogeneous coordinate ring; this generalizes a Newton polytope for a toric variety. This convex body has various kinds of information about the original projective variety; for instance, Kaveh showed that the string polytopes from representation theory are examples of Newton-Okounkov bodies for Schubert varieties. In this paper, we extend the notion of string polytopes for Demazure modules to generalized Demazure modules, and prove that the resulting generalized string polytopes are identical to the Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties with respect to a specific valuation. As an application of this result, we show that these are indeed polytopes.

연구 동기 및 목표

• 표준 Demazure 모듈러스에서의 스트링 폴리토프 이론을 일반화된 Demazure 모듈러스로 확장하기.
• 특정 평가에 있어서 Bott-Samelson 다양체에 대한 Newton-Okounkov body와 일반화된 스트링 폴리토프가 일치함을 증명하기.
• 관련 계량군의 유한 생성성을 통해 이러한 일반화된 스트링 폴리토프가 유리 볼록체임을 확립하기.
• 다양한 리 타입에 대해 일반화된 스트링 폴리토프를 정의하는 명시적 조각별 선형 부등식 제공하기.

제안 방법

• Bott-Samelson 다양체와 관련된 유리 함수체 위에서 사전순서를 갖는 최고차항 평가를 사용하여 Newton-Okounkov body를 구성한다.
• 일반화된 Demazure 모듈러스를 임의의 기저 모듈러스의 텐서곱의 B-부분군으로 정의한다.
• Bott-Samelson 다양체 위의 선다발의 전역 섹션에 대한 새로운 기저를 도입하며, 이는 일반화된 Demazure 크리스탈에 의해 매개화된다.
• 일반화된 Demazure 크리스탈에 스트링 매개변수화를 적용하여 새로운 폴리토프인 일반화된 스트링 폴리토프를 정의한다.
• 주어진 단어 i와 무게 m에 대해 일반화된 스트링 폴리토프 ∆i,m를 특징짓는 조각별 선형 부등식을 유도한다.
• 계량군 S(X, L, v, τ)의 유한 생성성을 이용하여 Newton-Okounkov body가 유리 볼록체임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 평가 하에서 일반화된 스트링 폴리토프가 Demazure 모듈러스와 Bott-Samelson 다양체의 Newton-Okounkov body와 동치인가?
• RQ2 스트링 폴리토프 구성은 표준 Demazure 모듈러스에서 일반화된 Demazure 모듈러스로 확장될 수 있는가?
• RQ3 주어진 기약 또는 비기약 단어 i와 무게 m에 대해 관련된 일반화된 스트링 폴리토프 ∆i,m의 정의 부등식은 무엇인가?
• RQ4 선택된 평가를 갖는 Bott-Samelson 다양체에 대한 계량군 S(X, L, v, τ)는 유한 생성되는가? 이는 Newton-Okounkov body가 유리 볼록체임을 보장한다.
• RQ5 동일한 와일 군 원소에 대해 다양한 기약 단어 선택에 따라 폴리토프는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 기약 단어 i에 대해 일반화된 스트링 폴리토프 ∆i,m는 해당하는 Bott-Samelson 다양체에 대한 Newton-Okounkov body ∆(Zi, Li,m, vi, τi,m)와 정확히 일치한다.
• A2 타입에서 m = (1,1,1)일 경우, 일반화된 스트링 폴리토프 ∆i,m는 다음 부등식들로 주어진다: a3 ≤1, a2 ≤a3 +1, a1 ≤a2 −2a3 +2.
• C2 타입에서 m = (1,1,1,1)일 경우, 폴리토프 ∆i,m는 0 ≤a4 ≤1, 0 ≤a3 ≤2a4 +1 및 a2와 a1를 포함하는 다른 제약 조건들로 정의된다.
• G2 타입에서 m = (1,1,1,1,1,1)일 경우, 폴리토프 ∆i,m는 6개의 변수를 가지며, 복잡한 조각별 선형 부등식들로 둘러싸여 있으며, 예를 들어 a1 ≤3a2 −2a3 +3a4 −2a5 +3a6 +3이 포함된다.
• 비기약 케이스, 예를 들어 A1 타입에서 i = (1,1,1)일 경우, 폴리토프 ∆i,m는 (0,1,0.5)에 꼭짓점이 있어 격자 폴리토프가 아니다.
• 무게 ms가 ms+1에 비해 충분히 클 경우, 폴리토프 ∆i,m는 정확히 2r개의 꼭짓점과 차원 r−1인 2r개의 면을 갖는다.