[논문 리뷰] Newton polygon stratification of the Torelli locus in PEL-type Shimura varieties

Wanlin Li, Elena Mantovan외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 PEL형 쇼이마 다양체에서 열린 토렐리 다양체가 특정 뉴턴 다边형 분할에 대해 교차함을 보이기 위해 클러치 방법을 개발한다. 이는 특성 p에서 스무스 곡선이 실현하는 무한히 많은 새로운 뉴턴 다변형—다수는 프로젝티브 직선의 순환 코어에 의해 유도됨—이 존재함을 증명한다. 특히 p-크고 초순수인 경우에 대해 오어트의 융합 뉴턴 다변형에 대한 추측을 조건 충족 시에 확인한다.

ABSTRACT

We study the intersection of the Torelli locus with the Newton polygon stratification of the modulo $p$ reduction of certain PEL-type Shimura varieties. We develop a clutching method to show that the intersection of the open Torelli locus with some Newton polygon strata is non-empty. This allows us to give a positive answer, under some compatibility conditions, to a question of Oort about smooth curves in characteristic $p$ whose Newton polygons are an amalgamate sum. As an application, we produce infinitely many new examples of Newton polygons that occur for smooth curves that are cyclic covers of the projective line. Most of these arise in inductive systems which demonstrate unlikely intersections of the open Torelli locus with the Newton polygon stratification in Siegel modular varieties. In addition, for the twenty special PEL-type Shimura varieties found in Moonen's work, we prove that all Newton polygon strata intersect the open Torelli locus (if $p>>0$ in the supersingular cases).

연구 동기 및 목표

• PEL형 쇼이마 다양체에서의 뉴턴 다변형 분할이 열린 토렐리 다양체와 교차하는지, 즉 스무스 곡선의 양자군이 특정 뉴턴 다변형을 실현하는지 확인하는 것.
• 이전의 p-랭크 및 뉴턴 다변형 분할 결과를 PEL형 쇼이마 다양체의 귀납적 시스템으로 일반화하는 것.
• 낮은 종수 곡선에서의 뉴턴 다변형 융합에 대한 오어트의 추측을 조건 충족 하에 긍정적으로 확인하는 것.
• 순환 코어를 통한 P^1의 스무스 곡선이 실현하는 무한한 가족의 새로운 뉴턴 다변형을 구성하는 것.
• 특정 20개의 PEL형 쇼이마 다양체에 대해 p가 충분히 크고 초순수인 경우, 모든 뉴턴 다변형 분할이 열린 토렐리 다양체와 교차함을 검증하는 것.

제안 방법

• P^1의 μm-코어를 파rametrizing하는 허리츠 공간에서 클러치 사상(클러치 사상)을 사용하여, 주어진 뉴턴 다변형을 갖는 특이 곡선을 구성하는 것.
• 균형 조건과 호환 조건을 적용하여, 이러한 특이 곡선의 변형이 여전히 μm-코어이면서 뉴턴 다변형을 유지하도록 보장하는 것.
• 가능한 경우 3점 분지 코어 또는 무텐의 20개 특수 가족에서 유도된 기저 사례를 사용하여, 귀납적 시스템에서 적합성, 균형성, 호환성 조건을 재귀적으로 검증하는 것.
• 코트비츠, 비에르만–웨른혼, 하마처가 확립한 서명 유형과 p mod m 합동류를 통한 PEL형 쇼이마 다양체에서의 뉴턴 다변형 분할에 대한 기존 결과를 활용하는 것.
• 유니타리 쇼이마 다양체와 μm의 군 대수에 관련된 경우에서, 뉴턴 다변형 분할의 코드미니엄 조건을 검증하는 것으로 문제를 축소하는 것.
• 디외두느 모듈 이론과 p-나누어지는 군의 구조를 활용하여, 쇼이마 다양체의 모듈로 p 환원에서의 뉴턴 다변형을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 뉴턴 다변형이 일반적인 경우에 가까운 경우, PEL형 쇼이마 다양체에서 열린 토렐리 다양체가 뉴턴 다변형 분할과 교차하는가?
• RQ2 특성 p에서 스무스 곡선의 양자군에 대해, 두 곡선에서의 뉴턴 다변형 융합에 대한 오어트의 추측을 검증할 수 있는가?
• RQ3 양의 특성에서 스무스 순환 코어 P^1의 양자군으로서 어떤 새로운 뉴턴 다변형이 나타나는가?
• RQ4 특정 20개의 PEL형 쇼이마 다양체에 대해, p가 충분히 크면 모든 뉴턴 다변형 분할이 열린 토렐리 다양체와 교차하는가?
• RQ5 주어진 뉴턴 다변형을 갖는 특이 곡선이 뉴턴 다변형을 변경하지 않은 채 스무스 곡선으로 변형될 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 뉴턴 다변형이 일반적인 경우에 가까운 경우, 무한히 많은 PEL형 쇼이마 다양체에서 열린 토렐리 다양체와의 교차는 비어 있지 않다.
• 특히 p-크고 초순수인 경우, 조건 충족 하에 오어트의 융합 뉴턴 다변형 추측이 확인된다.
• 논문은 스무스 곡선이 실현하는 무한히 많은 새로운 뉴턴 다변형을 구성하였으며, 다수는 P^1의 순환 코어의 귀납적 시스템에서 기인한다.
• 특정 20개의 PEL형 쇼이마 다양체에 대해, p가 충분히 크고 특히 초순수인 경우, 모든 뉴턴 다변형 분할이 열린 토렐리 다양체와 교차한다.
• 균형 조건과 호환 조건 하에서 특이 곡선의 변형이 뉴턴 다변형을 유지하는 데 성공적으로 활용되어, 원하는 뉴턴 다변형을 갖는 스무스 곡선을 구성하는 데 기여하였다.
• 구체적 예시로는 m=6, p≡1 mod 6일 때 ord^3 ⊕ ss^2, m=8, p≡1 mod 8일 때 ord^4 ⊕ ss^3 등이 있으며, 표 1에 나열된 바와 같은 다른 예도 포함된다.