[논문 리뷰] Newton-Schrödinger Equations are not derivable from General Relativity + Quantum Field Theory

Charis Anastopoulos, B. L. Hu|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 16.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 뉴턴-슈뢰딩거 방정식(NSEs)이 일반 상대성 이론(GR)과 양자장론(QFT)으로부터 두 가지 독립적인 접근 방식을 통해 유도될 수 없다는 것을 보여준다. 첫째, 약한 중력장에 결합된 스칼라 장의 비상대론적 근사를 유도하고, 이를 캐논ical하게 양자화하는 방식이며, 둘째, 양자장론 기반의 반고전적 아인슈타인 방정식(SCE)의 비상대론적 근사를 취하는 방식이다. 핵심 결과는 NSEs가 양자장 연산자를 고전적 c-수로 오해하고, 단일 입자 파동함수를 평균장 집단 변수로 잘못 다루는 데서 기인하며, 이는 GR+QFT를 초월한 알려지지 않은 물리학을 암시한다.

ABSTRACT

In this note we show that Newton-Schrödinger Equations (NSEs) [arXiv:1210.0457 and references therein] do not follow from general relativity (GR) and quantum field theory (QFT) by way of two considerations: 1) Taking the nonrelativistic limit of the semiclassical Einstein equation, the central equation of relativistic semiclassical gravity, a fully covariant theory based on GR+QFT with self-consistent backreaction of quantum matter on the spacetime dynamics; 2) Working out a model [see C. Anastopoulos and B. L. Hu, Class. Quant. Grav. 30, 165007 (2013), arXiv:1305.5231] with a matter scalar field interacting with weak gravity, in procedures analogous to the derivation of the nonrelativistic limit of quantum electrodynamics. We conclude that the coupling of classical gravity with quantum matter can only be via mean fields, there are no $N$-particle NSEs and theories based on Newton-Schrödinger equations assume unknown physics.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론(GR)과 양자장론(QFT)의 맥락에서 뉴턴-슈뢰딩거 방정식(NSEs)의 기초적 지위를 명확히 하는 것.
• NSEs가 GR+QFT로부터 유도되는지 여부에 대한 오랜 논란을 해결하는 것.
• 반고전적 중력에서 NSEs를 유도하는 과정에서 발생하는 물리적 및 수학적 오류를 특정화하는 것, 특히 양자장과 질량 밀도의 처리에 중점을 두어.

제안 방법

• GR+QFT를 통해 약한 중력장에 결합된 스칼라 장의 비상대론적 근사를 유도하기 위해 제약 조건을 풀고, 시스템을 캐논ical하게 양자화하는 방식으로, QED의 비상대론적 근사와 유사하게 진행한다.
• 반고전적 아인슈타인 방정식(SCE)의 비상대론적 근사를 취한다. SCE는 GR+QFT 기반의 완전히 공변적인 이론이며, 자기 일관된 피드백을 포함한다.
• 물질 자유도를 양자장 $\hat{\psi}(\mathbf{r})$ 및 $\hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})$를 사용하여 기술하여, 비국소적 중력 상호작용을 포함한 다체 슈뢰딩거 방정식을 도출한다.
• 유도된 다체 해밀토니안에 하트리 근사를 적용하여 $N \to \infty$의 평균장 근사를 분석하고, 이를 NSE와 비교한다.
• NSE의 비선형 항이 $m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$를 고전적 질량 밀도로 간주하는 데 기인한 것으로 밝혀지며, QFT에서는 이는 양자 연산자 $\hat{\epsilon}(\mathbf{r}) = \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r})\hat{\psi}(\mathbf{r})$ 이다.
• 유도된 다체 슈뢰딩거 방정식의 하트리 근사 결과를 SCE 근사와 NSE와 비교하여 상호 확인함으로써, 이들이 일치하지 않음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 뉴턴-슈뢰딩거 방정식은 일반 상대성 이론과 양자장론으로부터 일관된 비상대론적 근사를 통해 유도될 수 있는가?
• RQ2 GR+QFT 맥락에서 반고전적 아인슈타인 방정식(SCE)의 정확한 비상대론적 근사는 무엇인가?
• RQ3 중력이 있는 다체 양자장론의 하트리 근사는 왜 뉴턴-슈뢰딩거 방정식을 유도하지 못하는가?
• RQ4 일반 상대성 이론+양자장론에서 중력 자기에너지의 역할은 무엇이며, NSE나 디오시의 확률적 모델과는 어떻게 다를까?
• RQ5 NSE에서 $m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$를 고전적 질량 밀도로 간주하는 것은 왜 양자장론과 불일치하는가?

주요 결과

• GR+QFT를 통해 약한 중력장에 결합된 스칼라 장의 비상대론적 근사는 비국소적 중력 상호작용을 포함한 다체 슈뢰딩거 방정식을 유도하지만, 단일 입자 방정식에는 비선형 항이 존재하지 않는다.
• GR+QFT에서 중력 자기에너지의 기여는 약한 필드 근사에서 질량 재정규화에만 기여하며, 슈뢰딩거 방정식의 비선형 항으로 기여하지는 않는다.
• 유도된 다체 해밀토니안의 하트리 근사는 반고전적 아인슈타인 방정식의 비상대론적 근사와 일치하는 평균장 방정식을 도출하지만, 뉴턴-슈뢰딩거 방정식과는 일치하지 않는다.
• NSE의 비선형 항은 양자 질량 밀도 연산자 $\hat{\epsilon}(\mathbf{r})$를 고전적 c-수 $m|\psi(\mathbf{r},t)|^2$로 오해함으로써 발생하며, 이는 양자장의 연산자 성격을 위반한다.
• 하트리 근사에서 $\chi(\mathbf{r})$는 단일 입자 파동함수가 아니라 집단 변수이므로, $N\to\infty$ 근사에서 단일 입자 NSE를 유도할 수 없다.
• 뉴턴-슈뢰딩거 방정식을 기반으로 한 이론들은 GR+QFT의 기존 프레임워크로부터 도출될 수 없으므로, 알려지지 않은 물리학을 암시한다.