[논문 리뷰] Nice inducing schemes and the thermodynamics of rational maps

Feliks Przytycki, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 52인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유향 분해형 분해를 사용한 정교한 유도 체계와 유향형 분해를 도입하여, 비균일적으로 초월적인 시스템과 실수 계수를 가진 이차 다항식을 포함한 광범위한 유리 함수의 압력 함수의 실해석적 성질을 확립한다. 주요 결과는 압력 함수가 최대 두 개의 상전이를 가질 수 있으며, 이는 유일한 두 점을 제외하고는 항상 해석적임을 보장하며, 양의 엔트로피 영역 내의 평형 상태에 대해 상관의 지수적 감쇠와 중심극한정리를 보장한다.

ABSTRACT

We consider the thermodynamic formalism of a complex rational map $f$ of degree at least two, viewed as a dynamical system acting on the Riemann sphere. More precisely, for a real parameter $t$ we study the (non-)existence of equilibrium states of $f$ for the potential $-t \ln |f'|$, and the analytic dependence on $t$ of the corresponding pressure function. We give a fairly complete description of the thermodynamic formalism of a rational map that is "expanding away from critical points" and that has arbitrarily small "nice sets" with some additional properties. Our results apply in particular to non-renormalizable polynomials without indifferent periodic points, infinitely renormalizable quadratic polynomials with a priori bounds, real quadratic polynomials, topological Collet-Eckmann rational maps, and to backward contracting rational maps. As an application, for these maps we describe the dimension spectrum of Lyapunov exponents, and of pointwise dimensions of the measure of maximal entropy, and obtain some level-1 large deviations results.

연구 동기 및 목표

• 복소 유리 함수의 차수 ≥2에 대해 매개변수 t에 대한 압력 함수의 실해석적 의존성을 확립하기 위해.
• 비균일적으로 초월적인 유리 함수의 광범위한 클래스에 대한 열역역학 체계를 기술하기 위해, 비재규합 다항식과 사전 경계가 있는 무한히 재규합 가능한 이차 다항식을 포함하여.
• 최대 엔트로피 측도의 리아풀로프 지수의 차원 스펙트럼과 점별 차원의 행동을 분석하기 위해.
• 평형 상태에 대한 1차 수준의 대 deviations 결과를 유도하고, 무한의 영역에 대한 적분 평균 스펙트럼의 해석적 성질을 증명하기 위해.

제안 방법

• 재귀적인 임계점을 다루기 위해 첫 번째 귀환 시간이 아닌 고차 귀환 시간을 사용한 일반화된 유도 체계를 개발한다.
• 형상질량을 제어하고 이전 연구에서 사용된 밀도 기반 방법을 대체하기 위해, 당초의 역상에 대한 유향형 분해를 도입한다.
• [PRLS04]에서 제시된 압력 함수의 다양한 특성화를 적용하여 해석성과 상전이를 분석한다.
• Sobolev 공간 위에서의 전이 연산자와 스펙트럼 이론을 사용하여 상관의 지수적 감쇠와 중심극한정리를 확립한다.
• [PS75]의 대 deviations 정리들을 평형 상태에 적용하기 위해 주기점의 역상에 대한 가중합을 사용한다.
• 압력과 다중차원 스펙트럼 사이의 레전드 쌍대성 관계를 활용하여 차원 스펙트럼의 해석적 성질을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀적인 임계점을 가진 유리 함수에 대해 압력 함수 P(t)가 실해석적으로 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비균일적으로 초월적인 유리 함수의 열역역학 체계에서 상전이의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 TCE 조건 또는 사전 경계를 만족하는 맵에 대해 리아풀로프 지수의 차원 스펙트럼은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 실수 계수를 가진 이차 다항식에 대해 무한의 영역에 대한 적분 평균 스펙트럼이 실해석적으로 성립하는가?
• RQ5 양의 엔트로피 영역 내의 평형 상태에 대해 어떤 통계적 성질(예: 상관의 감쇠, 중심극한정리)이 성립하는가?

주요 결과

• 압력 함수 P(t)는 ℝ 상에서 최대 두 개의 예외를 제외하고 실해석적이며, 이는 열역역학 체계에서 최대 세 개의 영역이 존재할 수 있음을 의미한다.
• 모든 재규합되지 않은 다항식에서 불변점이 없는 경우와 사전 경계가 있는 무한히 재규합 가능한 이차 다항식에 대해서는, 압력 함수가 최대 두 매개변수를 제외하고 실해석적이다.
• 연결된 캐슬리 집합을 가진 비거듭제곱, 비체비셰프 다항식에 대해, 최대 엔트로피 측도의 점별 차원 스펙트럼은 α < 1 에서 실해석적이다.
• 무한의 영역에 대한 적분 평균 스펙트럼은 각 t ∈ ℝ 에서 실해석적이며, 최대 두 개의 예외를 제외한다.
• 양의 엔트로피 영역에서는 유일한 평형 상태가 존재하며, 이는 상관의 지수적 감쇠와 중심극한정리를 만족한다.
• 1차 수준의 대 deviations에 대해, 희귀 사건의 확률은 P(t(ε)) − P(t₀) − (t(ε) − t₀)P′(t(ε)) < 0 의 속도로 지수적으로 감소하며, 이는 대 deviations 원리의 타당성을 확인한다.