[논문 리뷰] Nil Bohr-sets and almost automorphy of higher order

Wen Huang, Song Shao외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 닐시스템과 일반화 다항식을 이용하여 상위 차수의 보르 집합과 상위 차수의 거의 자동성 시스템 간의 깊은 연결 고리를 설정한다. 닐 d 보르⁰-집합은 일반화 다항식을 통해 특징지어지며, d단계 거의 자동성 점들은 재귀 집합과 닐 d 보르⁰-집합을 통해 특징지어짐을 보여, 닐팩터 이론을 통해 상위 차수의 재귀성과 구조를 통합한다.

ABSTRACT

Two closely related topics: higher order Bohr sets and higher order almost automorphy are investigated in this paper. Both of them are related to nilsystems. In the first part, the problem which can be viewed as the higher order version of an old question concerning Bohr sets is studied: for any $d\in {\mathbb N}$ does the collection of $\{n\in {\mathbb Z}: S\cap (S-n)\cap\ldots\cap (S-dn) eq \emptyset\}$ with $S$ syndetic coincide with that of Nil$_d$ Bohr$_0$-sets? It is proved that Nil$_d$ Bohr$_0$-sets could be characterized via generalized polynomials, and applying this result one side of the problem is answered affirmatively: for any Nil$_d$ Bohr$_0$-set $A$, there exists a syndetic set $S$ such that $A\supset \{n\in {\mathbb Z}: S\cap (S-n)\cap\ldots\cap (S-dn) eq \emptyset\}.$ Moreover, it is shown that the answer of the other side of the problem can be deduced from some result by Bergelson-Host-Kra if modulo a set with zero density. In the second part, the notion of $d$-step almost automorphic systems with $d\in{\mathbb N}\cup\{\infty\}$ is introduced and investigated, which is the generalization of the classical almost automorphic ones. It is worth to mention that some results concerning higher order Bohr sets will be applied to the investigation. For a minimal topological dynamical system $(X,T)$ it is shown that the condition $x\in X$ is $d$-step almost automorphic can be characterized via various subsets of ${\mathbb Z}$ including the dual sets of $d$-step Poincaré and Birkhoff recurrence sets, and Nil$_d$ Bohr$_0$-sets. Moreover, it turns out that the condition $(x,y)\in X imes X$ is regionally proximal of order $d$ can also be characterized via various subsets of ${\mathbb Z}$.

연구 동기 및 목표

• 교차 조건을 통한 닐 d 보르⁰-집합 생성 여부에 대한 오래된 문제의 상위 차수 일반화를 해결하기 위해.
• 고전적 거의 자동성의 일반화로서 d단계 거의 자동성 시스템의 개념을 도입하고 연구하기 위해.
• 재귀 집합과 닐 d 보르⁰-집합을 이용하여 d단계 거의 자동성 점과 d차수 지역적 접근성 쌍을 특징지기 위해.
• 일반화 다항식 특징화를 통해 상위 차수의 재귀성, 닐시스템, 그리고 역학적 구조를 통합하기 위해.

제안 방법

• 도수 d의 일반화 다항식의 수준 집합으로서 닐 d 보르⁰-집합을 특징지워, 그것들이 도수 d의 일반화 다항식의 수준 집합으로 정의됨을 보여줌.
• 영집합을 제외한 모듈로에서 베르게론-호스트-크라 정리를 적용하여 상위 차수 보르 문제의 역방향을 분석함.
• 푸르스텐베르크 대응 원리를 사용하여 조합론적 재귀 집합과 위상역학 간의 연결을 맺음.
• d단계 닐시스템의 역극한을 이용하여 최대 d단계 닐팩터와 d차수 지역적 접근성 관계를 특징지음.
• 재귀성과 위상적 재귀 집합을 이용하여 d단계 거의 자동성 시스템을 정의하고 분석함.
• 엘리스 반군과 컴act 하우스도르프 시스템 이론을 활용하여 d차수 지역적 접근성 쌍의 구조를 연구함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 닐 d 보르⁰-집합은 어떤 시нд티크 집합 S에 대해 {n ∈ ℤ : S ∩ (S−n) ∩ … ∩ (S−dn) ≠ ∅} 형태의 집합으로서 나타나는가?
• RQ2 d단계 거의 자동성 시스템은 Poincaré 및 Birkhoff의 d차수 재귀 집합과 같은 재귀 집합을 이용해 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 최소 시스템에서 닐 d 보르⁰-집합은 d차수 지역적 접근성 관계와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 일반화 다항식은 상위 차수 보르 집합을 특징지키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 d단계 거의 자동성 점의 구조는 닐팩터와 재귀 집합 불변량을 통해 완전히 묘사될 수 있는가?

주요 결과

• 닐 d 보르⁰-집합은 도수 d의 일반화 다항식의 수준 집합으로 특징지어지며, 새로운 대수적 기술을 제공한다.
• 모든 닐 d 보르⁰-집합 A에 대해, A가 {n ∈ ℤ : S ∩ (S−n) ∩ … ∩ (S−dn) ≠ ∅}를 포함하는 시нд티크 집합 S가 존재함을 보여, 상위 차수 보르 문제의 한 방향을 확인한다.
• 상위 차수 보르 문제의 역방향은 베르게론-호스트-크라의 결과에 따라 영집합을 제외한 모듈로에서 성립한다.
• X 내의 점 x가 d단계 거의 자동성일 조건은 그 궤도 폐쇄가 d단계 재귀 점들의 집합의 폐쇄에 포함될 때이다.
• d차수 지역적 접근성 관계는 d중재귀 집합과 닐 d 보르⁰-집합의 교차로 특징지워진다.
• 최소 시스템 (X,T)의 최대 d단계 닐팩터는 X / RP^{[d]}와 동형이며, 이 요소는 d단계 거의 자동성 구조를 포괄한다.