[논문 리뷰] NLTS Hamiltonians and Strongly-Explicit SoS Lower Bounds from Low-Rate Quantum LDPC Codes

Louis Golowich, Tali Kaufman|arXiv (Cornell University)|2023. 11. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 저레이트 양자 LDPC 코드를 사용하여 NLTS 해밀토니안과 강력한 명시적 합의 제곱(SoS) 하한을 구축한다. 선형 거리 양자 LDPC 코드에 '식재된'(planted) 강력한 명시적 비자명한 코드어(모든 일의 벡터)를 도입함으로써 저자들은 계산 비용이 큰 가우스 소거법에 의존하지 않게 되었으며, 이로 인해 ℓ-LIN 및 3-XOR CSPs에 대한 첫 번째 강력한 명시적 SoS 하한을 도출하였다. 또한, 선형 차원이 아닌 임의의 양의 차원을 갖는 코드로부터도 NLTS 해밀토니안을 구성할 수 있음을 증명하였다.

ABSTRACT

Recent constructions of the first asymptotically good quantum LDPC (qLDPC) codes led to two breakthroughs in complexity theory: the NLTS (No Low-Energy Trivial States) theorem (Anshu, Breuckmann, and Nirkhe, STOC'23), and explicit lower bounds against a linear number of levels of the Sum-of-Squares (SoS) hierarchy (Hopkins and Lin, FOCS'22). In this work, we obtain improvements to both of these results using qLDPC codes of low rate: - Whereas Anshu et al. only obtained NLTS Hamiltonians from qLDPC codes of linear dimension, we show the stronger result that qLDPC codes of arbitrarily small positive dimension yield NLTS Hamiltonians. - The SoS lower bounds of Hopkins and Lin are only weakly explicit because they require running Gaussian elimination to find a nontrivial codeword, which takes polynomial time. We resolve this shortcoming by introducing a new method of planting a strongly explicit nontrivial codeword in linear-distance qLDPC codes, which in turn yields strongly explicit SoS lower bounds. Our "planted" qLDPC codes may be of independent interest, as they provide a new way of ensuring a qLDPC code has positive dimension without resorting to parity check counting, and therefore provide more flexibility in the code construction.

연구 동기 및 목표

• 이전 SoS 하한에서의 약한 명시성 문제를 해결하기 위해, 비자명한 코드어를 찾기 위해 다항시간 가우스 소거법이 필요로 하는 문제를 해결하고자 한다.
• NLTS 해밀토니안이 선형 차원 외에도 임의의 양의 차원을 갖는 양자 LDPC 코드로부터도 구성될 수 있음을 입증하고자 한다.
• 패리티체크 수를 세는 데 의존하지 않고도 양자 LDPC 코드의 양의 차원을 보장할 수 있는 새로운 방법을 개발하고자 한다.
• 비자명한 코드어가 명시적으로 알려져 있는 선형 거리 양자 LDPC 코드의 새로운 구성법을 제공함으로써 양자 복잡도 이론에서의 유연성과 적용 가능성 향상을 도모하고자 한다.

제안 방법

• 비자명한 코드어로 모든 일의 벡터를 '식재'한 새로운 양자 LDPC 코드 구성법을 제안하여 강력한 명시성을 보장한다.
• 소집합(co)경계 확산를 핵심 성질로 활용하여 NLTS 및 SoS 하한 결과를 보장한다.
• 식재된 코드어를 활용해 β = 1인 ℓ-LIN 인스턴스를 구현하며, 모든 일의 벡터가 계산적으로 단순하므로 강력한 명시성이 확보된다.
• 식재된 구성법을 통해 [HL22]의 기존 SoS 하한 프레임워크에서 약한 명시적 코드어를 강력한 명시적 코드어로 대체함으로써 SoS 하한를 확립한다.
• 소집합 확산에 기반하여 저레이트 qLDPC 코드에서 유도된 해밀토니안의 NLTS 성질이 성립함을 증명한다. 이는 선형 차원이나 국소 테스트 가능성에 의존하지 않는다.
• 확률적 수량 계산 방법 없이 명시적 행렬 구성법을 통해 비자명한 코드어가 보장되는 양자 타너 코드를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 차원이 아닌 임의의 양의 차원을 갖는 양자 LDPC 코드로부터 NLTS 해밀토니안을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비자명한 코드어를 찾기 위해 가우스 소거법에 의존하지 않고도 CSPs에 대해 강력한 명시적 SoS 하한을 달성할 수 있는가?
• RQ3 패리티체크 수를 세는 데 의존하지 않고도 양의 차원이 보장되고, 알려진 명시적 계산 가능한 비자명한 코드어를 갖는 양자 LDPC 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ4 소집합(co)경계 확산만으로도 국소 해밀토니안에서 NLTS 성질이 유도될 수 있는가? 이는 코드의 차원이나 국소 테스트 가능성과 무관하게 성립하는가?
• RQ5 식재된 코드어 기법을 사용하여 선형 수준의 SoS가 반증에 저항하는 강력한 명시적 가족의 CSPs를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 이전의 [ABN23]에서 요구하던 선형 차원이 아닌 임의의 양의 차원을 갖는 양자 LDPC 코드로부터 NLTS 해밀토니안을 구성하였다.
• 저자들은 선형 거리 양자 LDPC 코드에 모든 일의 벡터를 비자명한 코드어로 '식재'할 수 있는 새로운 방법을 제안하여 강력한 명시성을 확보하였다.
• 이 식재된 구성법은 Ω(n) 수준의 SoS 계층이 반증에 저항하는 첫 번째 강력한 명시적 ℓ-LIN 인스턴스의 가족을 도출하였다.
• 동일한 구성법은 만족 가능성 ≤(1−Ω(1))이며, 소수 상수 c>0에 대해 cn 수준의 SoS 반증에 저항하는 첫 번째 강력한 명시적 3-XOR 인스턴스로 이어진다.
• 이 방법은 패리티체크 수를 세는 데 의존하지 않아, qLDPC 코드의 양의 차원을 보장하는 새로운 구성적 방법을 제공한다.
• 결과적으로 소집합(co)경계 확산가 NLTS 및 SoS 하한을 유도하는 데 충분함을 보여주었으며, 이는 선형 차원이나 국소 테스트 가능성 없이도 성립한다.