[논문 리뷰] No-regret Learning in Price Competitions under Consumer Reference Effects

Negin Golrezaei, Patrick Jaillet외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 07.

Advanced Bandit Algorithms Research참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소비자 기준가격 효과가 있는 두 기업 간의 반복적 가격 경쟁을 연구한다. 여기서 수요는 현재 가격과 기억 기반 기준가격에 의존한다. 감소하는 스텝 크기를 사용하는 온라인 미러 디센트(OMD)를 활용해, 저자들은 기업의 가격과 기준가격이 제한된 정보와 적대적 피드백 조건에서도 안정적 내쉬 균형(SNE)으로 수렴함을 증명한다. 이는 장기적인 시장 안정성을 보장한다.

ABSTRACT

We study long-run market stability for repeated price competitions between two firms, where consumer demand depends on firms' posted prices and consumers' price expectations called reference prices. Consumers' reference prices vary over time according to a memory-based dynamic, which is a weighted average of all historical prices. We focus on the setting where firms are not aware of demand functions and how reference prices are formed but have access to an oracle that provides a measure of consumers' responsiveness to the current posted prices. We show that if the firms run no-regret algorithms, in particular, online mirror descent(OMD), with decreasing step sizes, the market stabilizes in the sense that firms' prices and reference prices converge to a stable Nash Equilibrium (SNE). Interestingly, we also show that there exist constant step sizesunder which the market stabilizes. We further characterize the rate of convergence to the SNE for both decreasing and constant OMD step sizes.

연구 동기 및 목표

• 기준가격 효과가 있는 반복적 가격 경쟁에서 no-regret 학습 알고리즘을 사용하는 기업들이 장기적인 시장 안정성을 달성할 수 있는지 조사하기.
• 소비자 기준가격을 과거 가격의 가중 평균으로 모델링하여 기억 기반 수요 역학을 반영하기.
• 수요 함수나 기준가격 형성 방식을 알지 못하는 불완전한 정보 조건 하에서의 시장 안정성 분석하기.
• 기업의 전략과 기준가격이 안정적 내쉬 균형(SNE)으로 수렴할 조건을 설정하기.
• 감소하는 스텝 크기와 일정한 스텝 크기 조건 하에서 가격과 기준가격의 수렴 속도를 특성화하기.

제안 방법

• 두 개의 실질 기업과 기준가격 역학을 나타내는 가상의 '자연' 기업을 포함하는 동적 게임으로 시장을 수리적으로 정의하기.
• 모든 과거 가격의 가중 평균으로 구성되는 시간에 따라 변화하는 상태로 기준가격을 모델링하고, 기업의 가격 결정에 따라 변화시키기.
• 각 기업의 가격 전략에 대해 온라인 미러 디센트(OMD)를 적용하고, 실시간 반응 피드백을 제공하는 오라클을 사용하기.
• 가상 기업(자연)이 일정한 스텝 크기로 학습하는 것을 고려해, 동적 상태를 가진 두 기업 게임을 세 기업 게임으로 변환하기.
• 브레그만 산란과 강한 볼록성을 활용해 오해와 수렴을 분석하고, 다양한 스텝 크기 조건 하에서 OMD의 성질을 활용하기.
• 가상 기업이 실제 기업보다 더 빠르게 학습하더라도, 균형으로의 거리가 시간이 지남에 따라 감소함을 보여, SNE 수렴을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기준가격 효과가 있는 반복적 가격 경쟁에서 기업의 가격과 소비자 기준가격이 안정적 내쉬 균형(SNE)으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 수요나 기준가격 역학을 완전히 알지 못하는 기업들이 no-regret 학습 알고리즘(예: OMD)을 사용할 경우 시장 안정성이 달성될 수 있는가?
• RQ3 OMD에서 감소하는 스텝 크기를 사용할 경우 SNE로의 수렴이 발생하는가? 그리고 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ4 가상 기업(기준가격 역학을 모델링)이 일정한 스텝 크기를 사용함에도 불구하고, 그 학습 속도가 더 빠르더라도 시장 안정화가 가능할 수 있는가?
• RQ5 주어진 모델 가정 하에서 안정적 내쉬 균형(SNE)가 가지는 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 주어진 모델 하에서 유일한 안정적 내쉬 균형(SNE)의 존재를 확립하며, 이는 마진 수익이 0이 되는 1차 조건으로 특성화된다.
• 감소하는 OMD 스텝 크기를 사용할 경우, 기업의 가격과 기준가격은 정리 5.1에 따라 선형 속도로 SNE로 수렴한다.
• 가상 기업(자연)이 일정한 스텝 크기를 사용하더라도, 실제 기업들이 OMD에서 감소하는 스텝 크기를 사용함으로써 시장 안정화를 달성할 수 있다.
• 빠르게 학습하는 가상 기업의 존재로 인해 표준 다중 에이전트 온라인 학습 수렴 결과가 무효화되기 때문에, 수렴 증명은 비정상적으로 어렵다.
• 분석 결과, 브레그만 산란과 정규화 함수의 강한 볼록성 덕분에 균형으로의 거리가 시간이 지남에 따라 감소함을 보여, 수렴이 가능해진다.
• 결론 10.1.1은 SNE에서 각 기업의 가격에 대한 수익 함수의 기울기가 0임을 확인하여 균형 조건을 재확인한다.