[논문 리뷰] No Strong Parallel Repetition with Entangled and Non-signaling Provers

Julia Kempe, Oded Regev|ArXiv.org|2009. 11. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 증인 게임에서 증인이 양자 얽힘을 공유하거나 비신호 전략을 사용할 경우 강력한 평행 반복이 성립하지 않음을 보이며, 오랫동안 남아있던 추측을 반증한다. 유니크 게임과 라인 게임을 사용하여 명시적인 반례를 구성함으로써, 승리 확률이 (1−Θ(1/n²))ℓ의 속도로 감소함을 보이며, 비신호 증인에 대한 Holenstein의 경계와 양자 증인에 대한 기존 경계가 모두 날카롭다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We consider one-round games between a classical verifier and two provers. One of the main questions in this area is the \emph{parallel repetition question}: If the game is played $\ell$ times in parallel, does the maximum winning probability decay exponentially in $\ell$? In the classical setting, this question was answered in the affirmative by Raz. More recently the question arose whether the decay is of the form $(1-Θ(\eps))^\ell$ where $1-\eps$ is the value of the game and $\ell$ is the number of repetitions. This question is known as the \emph{strong parallel repetition question} and was motivated by its connections to the unique games conjecture. It was resolved by Raz who showed that strong parallel repetition does \emph{not} hold, even in the very special case of games known as XOR games. This opens the question whether strong parallel repetition holds in the case when the provers share entanglement. Evidence for this is provided by the behavior of XOR games, which have strong (in fact \emph{perfect}) parallel repetition, and by the recently proved strong parallel repetition of linear unique games. A similar question was open for games with so-called non-signaling provers. Here the best known parallel repetition theorem is due to Holenstein, and is of the form $(1-Θ(\eps^2))^\ell$. We show that strong parallel repetition holds neither with entangled provers nor with non-signaling provers. In particular we obtain that Holenstein's bound is tight. Along the way we also provide a tight characterization of the asymptotic behavior of the entangled value under parallel repetition of unique games in terms of a semidefinite program.

연구 동기 및 목표

• 양자 얽힘과 비신호 증인을 가진 게임에 대해 강력한 평행 반복 문제를 해결하기 위해.
• 양자 증인 또는 비신호 증인이 있는 게임에서 반복 게임의 승리 확률이 (1−ε)ℓ의 형태로 지수적으로 감소하는지 여부를 확인하기 위해.
• 평행 반복 하에서 얽힌 값과 비신호 값의 감쇠 속도에 대한 날카운 경계를 설정하기 위해.
• 준위 게임의 점차적 행동을 정수기반 프로그래밍을 통해 특성화하기 위해.
• 비신호 증인과 얽힌 증인에 대한 기존 평행 반복 정리가 최적임을 보이며, 날카운 반례를 구성함으로써 이를 입증하기 위해.

제안 방법

• 고전적 값 ω(G_uL) = 1−Θ(1/n), 얽힌 값 ω*(G_uL) = 1−Θ(1/n²), 비신호 값 ω^ns(G_uL) = 1−Θ(1/n²)를 가진 유니크 게임의 가족인 '유니크 라인 게임' G_uL을 구성한다.
• 정수기반 프로그래밍(SDP1 및 SDP2)을 사용하여 유니크 게임의 얽힌 값을 특성화하며, SDP1과 SDP2 해 사이에 제곱 차이가 있음을 보인다.
• SDP 벡터에서 유도된 상관 샘플링과 정규직교 기저를 기반으로 한 텐서 곱 전략을 적용하여 반복 게임에 대한 승리 전략을 구성한다.
• G_uL^ℓ에 대한 전략이 라인 게임 G_L^ℓ에서도 유효함을 보이며, 답 3을 전혀 사용하지 않고 승리 확률를 유지함을 입증한다.
• SDP 해가 비음이 아닌 내적을 가짐을 활용하여, SDP2 제약 조건 하에서의 타당성을 보장한다.
• Holenstein의 경계가 날카롭다는 것을 보이며, ω^ns(G_L^ℓ) ≥ (1−O(1/n²))ℓ (ℓ ≥ n²)임을 보여, 비신호 값의 감쇠 속도와 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증인이 양자 얽힘을 공유할 경우 두 증인 게임에서 강력한 평행 반복이 성립하는가?
• RQ2 비신호 값이 평행 반복 하에서 (1−Θ(ε))ℓ의 형태로 감쇠하는가, 아니면 더 느리게 감쇠하는가?
• RQ3 Holenstein의 비신호 증인에 대한 평행 반복 경계를 향상시킬 수 있는가, 아니면 이미 최적인가?
• RQ4 유니크 게임의 얽힌 값이 평행 반복 하에서 점차적 행동은 어떠한가?
• RQ5 XOR 게임 또는 기타 특수한 게임 클래스는 얽힌 또는 비신호 설정에서 완전하거나 강력한 평행 반복를 보이는가?

주요 결과

• 유니크 게임의 가족을 구성함으로써, 얽힌 값이 (1−Θ(1/n²))ℓ의 속도로 감소함을 보여, 얽힌 증인에 대해 강력한 평행 반복이 성립하지 않음을 입증한다.
• 동일한 게임의 비신호 값도 (1−Θ(1/n²))ℓ의 속도로 감소함을 보이며, Holenstein의 경계 (1−Θ(ε²))ℓ가 날카롭다는 것을 증명한다.
• 알파벳 크기가 2인 라인 게임 G_L는 강력한 평행 반복에 대한 반례를 제공하며, 간단한 게임이라도 강력한 평행 반복을 위반할 수 있음을 보여준다.
• 유니크 게임에서 SDP1과 SDP2의 이완 사이에 제곱 차이가 존재함을 보이며, 이는 이 맥락에서 SDP2가 SDP1보다 엄밀히 강하다는 것을 입증한다.
• 반복 게임에 대한 구성된 전략은 SDP 해의 텐서 곱에 기반하지만, 상관 샘플링 단계가 존재하므로 제품 전략이 아니며, 이는 중요한 특성이다.
• ℓ ≥ n²일 때, G_L^ℓ의 고전적, 얽힌, 비신호 값 모두 ω(G_L^ℓ) ≥ (1−O(1/n²))ℓ를 만족함을 보이며, 감쇠 속도가 게임의 구조 자체에 내재되어 있음을 보여준다.