[논문 리뷰] Nodal solutions for Lane-Emden problems in almost-annular domains

Anna Lisa Amadori, Francesca Gladiali외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 21.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ p > 1 $ 이며 $ \{p_k\} $ 와 같은 이산적 수열을 제외한 모든 $ p $ 에 대해, $ C^2 $-편미분이 작은 원환대 $ \Omega_t $ 와 같은 도메인에서 $ m $ 개의 노드 영역을 정확히 가진 노드 해의 존재성을 확립한다. 결과는 원래의 원환대에서의 반지름 노드 해에 대해 은직함수정리(implicit function theorem)를 적용함으로써 도출되며, 고유값 조건에 의해 특별한 임계 지수에서만 비비례하지 않는다는 보장이 있다.

ABSTRACT

In this paper we prove an existence result to the problem $$\left\{\begin{array}{ll} -Δu = |u|^{p-1} u \qquad & ext{in} Ω, \\ u= 0 & ext{on} \partialΩ, \end{array} ight. $$ where $Ω$ is a bounded domain in ${\mathbb R}^{N}$ which is a perturbation of the annulus. Then there exists a sequence $p_11$ and $p e p_k$ there exist at least one solution with $m$ nodal zones. In doing so, we also investigate the radial nodal solution in an annulus: we provide an estimate of its Morse index and analyze the asymptotic behavior as $p o 1$. Keywords: semilinear elliptic equations, nodal solutions, supercritical problems.

연구 동기 및 목표

• 소규모 $ C^2 $-편미분이 있는 원환대의 변형 도메인에서 정확히 $ m $ 개의 노드 영역을 가진 노드 해의 존재성을 확립한다.
• 은직함수정리를 적용할 수 있도록 반지름 노드 해가 비비례하지 않는 조건을 만족하는 지수 $ p $ 의 집합을 규명한다.
• Sobolev 포함의 컴팩턴스 실패 문제를 극복하면서 초임계 지수 $ p \to \infty $ 로의 존재 결과를 확장한다.
• 변형된 도메인에서의 노드 해의 모어스 지수를 특성화하고, $ p \to 1 $ 과 $ p \to \infty $ 에서의 점근적 행동을 분석한다.

제안 방법

• 변형된 도메인 $ \Omega_t $ 에서의 문제를 기준 원환대 $ A $ 로의 미분동형사상(diffeomorphism)을 통해 변환하고, 선형 편미분 연산자 $ L_t $ 를 도입한다.
• 다음과 같은 $ C^1 $-함수 $ F(t, v) = -\Delta v - L_t v - |v|^{p-1}v $ 를 $ \mathbb{R} \times C^{2,\gamma}_0(\bar{A}) $ 에서 정의하며, 반지름 해 $ v_p $ 에 대해 $ F(0, v_p) = 0 $ 이다.
• 은직함수정리를 $ t = 0 $ 에서 적용하기 위해 프레셰 미분 $ D_v F(0, v_p) $ 가 가역이어야 하며, 이는 정확히 $ v_p $ 가 비비례하지 않을 때 성립한다.
• 반지름 노드 해 $ v_p $ 의 비정상성은 고유값 조건 $ \nu_l(p) = -j(N-2+j) $ 또는 $ \nu_m(p) = -(N-1) $ 을 통해 특성화되며, 이는 오직 고립된 $ p $-값에서만 발생한다.
• 비정상성 $ p $-값의 집합이 가чёт수이며 $ +\infty $ 에만 집중된다는 것을 증명함으로써, 모든 $ p \neq p_k $ 에서 해의 존재성을 보장한다.
• 해의 분지 $ v_t $ 가 $ C^{2,\gamma} $ 에서 연속임을 확보함으로써, 소규모 편미분 하에서 노드 영역의 수가 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 원환대 편미분 도메인 $ \Omega_t $ 에서 $ p > 1 $ 인 어떤 지수에서 Lane-Emden 문제에 정확히 $ m $ 개의 노드 영역을 가진 노드 해가 존재하는가?
• RQ2 반지름 노드 해가 은직함수정리를 통한 연장이 가능하도록 하기 위해 필요한 비정상성 조건은 무엇인가?
• RQ3 변형된 도메인에서의 노드 해의 모어스 지수는 어떻게 행동하며, $ p \to 1 $ 과 $ p \to \infty $ 에서의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 해의 점근적 프로파일은 $ p \to 1 $ 과 $ p \to \infty $ 에서 어떻게 되며, 원환대에서의 반지름 해와의 관계는 무엇인가?
• RQ5 별형 도메인에서 Pohozaev 항등식이 해의 존재를 금지하는 바에도 불구하고, 구멍이 있는 도메인에서 초임계 지수에 대해 노드 해의 존재를 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ p > 1 $, $ p \neq p_k $ 에 대해, 충분히 작은 $ t $ 에서 $ \Omega_t $ 에서 정확히 $ m $ 개의 노드 영역을 가진 고전적 해가 존재하는 수열 $ \{p_k\} $ 이 존재하며, $ p_k \nearrow +\infty $ 를 만족한다.
• 반지름 노드 해가 비정상적이려면 모든 $ l = 1,\dots,m $, $ j \geq 2 $ 에 대해 $ \nu_l(p) \neq -j(N-2+j) $ 이고, $ \nu_m(p) \neq -(N-1) $ 이어야 한다.
• 변형된 도메인 $ \Omega_t $ 에서의 해 $ u_p $ 의 모어스 지수는 원환대에서의 반지름 해 $ v_p $ 의 모어스 지수와 같으며, 즉 $ m(u_p) = m(v_p) $ 이다.
• $ p \to \infty $ 일 때, 해의 모어스 지수는 $ \lim_{p \to \infty} m(u_p) = +\infty $ 를 만족하여 점점 더 많은 진동과 복잡성을 보인다.
• $ p $ 가 1에 가까울 때, $ \Omega_t $ 에서의 해 $ u_p $ 는 $ C^0 $-노름에서 함수 $ \psi_m(y + t\tilde{\sigma}(y)) $ 에 대해 균일하게 가까워지며, 이는 선형화 문제의 첫 번째 고유함수와 관련된다.
• $ p $ 가 클 경우, $ \Omega_t $ 에서의 해 $ u_p $ 는 균일하게 $ C^0 $-노름에서 반지름 함수 $ \omega(y + t\tilde{\sigma}(y)) $ 에 가까워지며, 이의 프로파일은 원환대에서의 반지름 해가 $ p \to \infty $ 로 갈수록 나타나는 점근적 행동에 의해 결정된다.