[논문 리뷰] Noether's problem and unramified Brauer groups

Akinari Hoshi, Ming-chang Kang외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 27.

Finite Group Theory Research참고 문헌 15인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 대수기하학과 군론 분야에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결하며, 임의의 홀수 소수 $ p $에 대해, 순서가 $ p^5 $인 유한 $ p $-군 $ G $의 비분할 브라우어 군 $ B_0(G) $이 자명하지 않음이 $ G $가 이소클리즘 가족 $ \Phi_{10} $에 속해 있을 때이고 그때에만 성립함을 증명함으로써, 이전에 보고몰로프가 $ p^5 $-군에 대해 모든 경우에서 $ B_0(G) = 0 $임을 주장한 바를 뒤집음. 이 결과는 비분할 브라우어 군을 통한 노에터 문제에서 유리성의 정확한 장벽을 규명함.

ABSTRACT

Let $k$ be any field, $G$ be a finite group acing on the rational function field $k(x_g:g\in G)$ by $h\cdot x_g=x_{hg}$ for any $h,g\in G$. Define $k(G)=k(x_g:g\in G)^G$. Noether's problem asks whether $k(G)$ is rational (= purely transcendental) over $k$. It is known that, if $\bm{C}(G)$ is rational over $\bm{C}$, then $B_0(G)=0$ where $B_0(G)$ is the unramified Brauer group of $\bm{C}(G)$ over $\bm{C}$. Bogomolov showed that, if $G$ is a $p$-group of order $p^5$, then $B_0(G)=0$. This result was disproved by Moravec for $p=3,5,7$ by computer calculations. We will prove the following theorem. Theorem. Let $p$ be any odd prime number, $G$ be a group of order $p^5$. Then $B_0(G) e 0$ if and only if $G$ belongs to the isoclinism family $Φ_{10}$ in R. James's classification of groups of order $p^5$.

연구 동기 및 목표

• 순서가 $ p^5 $인 유한 $ p $-군 중에서 비분할 브라우어 군이 자명하지 않은 군을 정확히 규명함으로써, 이전 결과 간의 괴리 문제를 해결함.
• 비아벨 군인 $ p $-군에 대해 고정체 $ k(G) $의 유리성과 보고몰로프 승수 $ B_0(G) $ 간의 관계를 명확히 함.
• 대수적으로 닫힌 체 $ k $ 위에서 $ k(G) $가 유리가 되지 않는 $ p $-군의 순서 $ p^5 $에 대한 완전한 분류를 제공함.
• 비유리성의 예를 보여주기 위해 $ \Phi_{10} $ 가족에 속하는 군들에 대한 충실한 선형 표현 $ G \to GL(V) $를 구축함으로써, 몫 다양체의 비유리성을 증명함.

제안 방법

• 군 코hom올로지 기반으로 보고몰로프 승수 $ B_0(G) $를 정의함. 이는 $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 에서 모든 이중순환 부분군 $ A \leq G $로의 제약 사상의 핵들의 교차로 정의됨.
• 샐트만과 보고몰로프의 정리를 적용하여, $ k $가 대수적으로 닫혀 있고 $ \gcd(|G|, \operatorname{char}k) = 1 $일 때 $ B_0(G) $를 비분할 브라우어 군 $ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) $ 와 동일시함.
• R. 제임스의 분류에 따라 $ p^5 $-군의 10개의 이소클리즘 가족에 대해 사례별 분석을 수행함. 군 표현과 특성 유도를 사용하여 $ B_0(G) $를 계산함.
• 아벨 부분군에서 유도된 표현을 이용하여, 차수 $ p^2 $ (홀수 $ p $에 대해) 또는 8 ( $ p=2 $ 일 때) 인 충실한 선형 표현 $ G \to GL(V) $를 구성함. 이 경우 $ k(V)^G $ 가 유리가 아님을 보임.
• 레마 1.3과 정리 3.1을 활용하여, $ k(V)^G $ 의 비분할 브라우어 군과 $ k(G) $ 의 그것과의 관계를 설정함으로써 비자명성을 유지함.
• 모레바츠의 방법과 유사하게 컴퓨터 보조 계산을 사용하여 $ p=3,5,7 $ 에서 $ B_0(G) $ 가 0이 아님을 확인함으로써, 모든 홀수 소수에 대해 결과를 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서가 $ p^5 $인 유한 $ p $-군 $ G $ 중에서 비분할 브라우어 군 $ B_0(G) $ 가 자명하지 않은 것은 무엇인가?
• RQ2 보고몰로프의 주장처럼, 모든 $ p^5 $-군에 대해 비분할 브라우어 군 $ B_0(G) $ 가 0이 되는가?
• RQ3 비유리성은 비분할 브라우어 군의 비자명성 존재를 통해 감지될 수 있는가?
• RQ4 어느 이소클리즘 가족의 $ p^5 $-군에 대해 충실한 선형 표현 $ G \to GL(V) $ 가 존재하여 $ k(V)^G $ 가 유리가 아니게 되는가?
• RQ5 만약 $ k(V)^G $ 가 유리가 아니면, 대수적으로 닫힌 체 위에서 몫 다양체 $ \mathbb{P}(V)/G $ 는 유리인가?

주요 결과

• 모든 홀수 소수 $ p $ 에 대해, $ B_0(G) \neq 0 $ 이 되는 것은 $ G $ 가 제임스의 $ p^5 $-군 분류에서 이소클리즘 가족 $ \Phi_{10} $ 에 속해 있을 때에만 성립함.
• 이 결과는 보고몰로프의 주장, 즉 모든 $ p^5 $-군에 대해 $ B_0(G) = 0 $ 임을 주장한 바를 뒤집으며, 특히 $ p=3,5,7 $ 에 대해 모레바츠의 컴퓨터 기반 반례로 확인됨.
• 순서가 $ p^5 $인 군 $ G \in \Phi_{10} $ 에 대해, 차수 $ \dim_k V = p^2 $ 인 충실한 선형 표현 $ G \to GL(V) $ 가 존재하여, 대수적으로 닫힌 체 $ k $ (특성 $ \neq p $) 위에서 $ k(V)^G $ 가 유리가 아님을 보임.
• 순서 64인 16번째 이소클리즘 가족에 속하는 군들에 대해, 차수 8인 충실한 표현이 존재하여 $ k(V)^G $ 가 유리가 아니며, 이는 $ \mathbb{P}(V)/G $ 도 유리가 아님을 의미함.
• 비분할 브라우어 군 $ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) $ 는 $ B_0(G) $ 와 동형이며, 그 비자명성은 $ k(G) $ 가 재접합 유리가 아니므로 유리가 아님을 의미함.
• 이 증명은 $ \Phi_{10} $ 에 속하지 않는 모든 $ p^5 $-군에 대해 $ B_0(G) = 0 $ 임을 보임으로써, 이러한 군들에 대한 노에터 문제에서의 유리성 장벽을 완전히 분류함.