[논문 리뷰] Noether's theorem, the stress-energy tensor and Hamiltonian constraints

Michel Leclerc|ArXiv.org|2006. 08. 20.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 게이지 대칭과 좌표 대칭의 맥락에서 노터의 정리들을 재검토하며, 전역 대칭과 국소 대칭 사이의 중간 단계인 선형 대칭이 4발산 표현식을 통해 전류 보존을 이끌어내는 방식을 보여준다. 일반적으로 공변인 1차 이론에서 벨린반테 스트레스-에너지 텐서가 식별적으로 0이 되며, 이는 일반 상대성 이론에서 중력 스트레스-에너지 게假텐서가 발산이 없음에도 불구하고 특수 상대성 이론에서는 그렇지 않은 이유를 해결한다.

ABSTRACT

Noether's theorem is reviewed with a particular focus on an intermediate step between global and local gauge and coordinate transformations, namely linear transformations. We rederive the well known result that global symmetry leads to charge conservation (Noether's first theorem), and show that linear symmetry allows for the current to be expressed as a four divergence. Local symmetry leads to identical conservation of the current and allows for the expression of the charge as two dimensional surface integral (Noether's second theorem). In the context of coordinate transformations, an additional step (Poincare symmetry) is of physical interest and leads to the definition of the symmetric Belinfante stress-energy tensor, which is then shown to be identically zero in generally covariant first order theories. The intermediate step of linear symmetry turns out to be important in general relativity when the customary first order Lagrangian is used, which is covariant only under affine transformations. In addition, we derive explicitely the canonical stress-energy tensor in second order theories in its identically conserved form. Finally, we analyze the relations between the generators of local transformations, the corresponding currents and the Hamiltonian constraints.

연구 동기 및 목표

• 전역 대칭과 국소 대칭 사이의 중간 대칭, 특히 선형 변환의 역할을 명확히 하여 보존 법칙 유도에 기여한다.
• 일반 상대성 이론과 특수 상대성 이론에서 스트레스-에너지 텐서의 발산 성질에 나타나는 명백한 모순을 해결한다.
• 2차 이론에서 캐논성 및 벨린반테 스트레스-에너지 텐서를 유도하고, 그것들이 식별적으로 보존되는 형태임을 보인다.
• 1차 제약 시스템에서 국소 변환의 생성자, 보존 전류, 해밀토니안 제약 조건 사이의 대응 관계를 설정한다.
• 일반적으로 공변인 1차 이론에서 벨린반테 스트레스-에너지 텐서가 식별적으로 0임을 보이며, 중력 게假텐서의 구조를 설명한다.

제안 방법

• 내부 게이지 대칭에 대해 노터의 제1 및 제2정리를 적용하여 라그랑지안의 전역 및 국소 불변성에서 보존 전류를 도출한다.
• 선형 변환을 중간 대칭 클래스로 도입하여, 전류가 4발산 형태로 보존됨을 보인다.
• 포incare, 아핀, 일반 좌표 대칭을 순차적으로 분석하며, 국소성 증가가 전하의 표면 적분 표현식으로 이어지는 과정을 추적한다.
• 2차 이론에서 캐논성 스트레스-에너지 텐서를 유도하고, 비앙키 항등식을 통해 그것이 식별적으로 보존됨을 보인다.
• 가우스형 제약 형식을 사용하여 선형화된 중력에서 비전파 모드를 제거하며, 전기역학의 쿨롱 게이지와 유사하다.
• 게이지 및 좌표 변환의 생성자와 해밀토니안 1차 제약 조건을 연결하여, 2차 제약 조건 $P + \tilde{P} = 0$ 이 메트릭의 전파 가능한 성분 위에서 공간의 미분형식 변환을 생성함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 일반 상대성 이론에서 스트레스-에너지 게假텐서는 식별적으로 발산이 없지만, 특수 상대성 이론에서는 그렇지 않은가?
• RQ2 전역 대칭과 국소 게이지 변환 사이의 중간 선형 대칭 단계의 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ3 일반적으로 공변인 1차 이론에서 벨린반테 스트레스-에너지 텐서는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 제약 시스템에서 국소 대칭의 생성자, 보존 전류, 해밀토니안 제약 조건 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 선형화된 중력에서 모든 비전파 모드를 제거하고 자유도를 두 개로 줄이는 완전히 고정된 게이지를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 대칭은 4발산 형태로 보존되는 전류를 유도하며, 전역 대칭과 국소 대칭의 보존 법칙 사이의 다리 역할을 한다.
• 일반적으로 공변인 1차 이론에서 벨린반테 스트레스-에너지 텐서는 식별적으로 0이며, 중력에서 비자명한 보존 전류가 존재하지 않는 이유를 설명한다.
• 2차 이론에서의 캐논성 스트레스-에너지 텐서는 비앙키 항등식에 의해 식별적으로 보존되며, 라그랑지안이 두 번째 도함수를 포함하더라도 성립한다.
• 국소 대칭 이론에서 전하의 표면 적분 형태(노터의 제2정리)는 총 전하가 시공간 부피에 의존하지 않음을 보장하며, 중력 이론에서 핵심적인 특성이다.
• 2차 제약 조건 $P + \tilde{P} = 0$ 은 메트릭의 전파 가능한 성분 위에서 공간의 미분형식 변환을 생성하며, 양밀 이론의 게이지 변환과 유사하다.
• 선형화 근사에서 $\psi_{\mu\nu}$ 의 장 방정식은 $\Box\psi_{\alpha\beta} = -2\mathcal{T}_{\alpha\beta}$ 로 간소화되며, 수직성 및 흐름 조건 하에서 표준 접근과의 등가성을 확인한다.