[논문 리뷰] Noether Symmetries and Covariant Conservation Laws in Classical, Relativistic and Quantum Physics

L. Fatibene, M. Francaviglia외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 17.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제트 배ndl 미분기하학과 포incare-카르탕 형식을 사용하여 고전적, 상대론적, 양자장 이론 전반에 걸쳐 노터 대칭성과 공변 보존 법칙에 대한 엄밀한 프레임워크를 수립한다. 에너지, 운동량, 각운동량과 같은 대칭성으로부터 유도된 보존 전류가 메트릭, tetrad, 팔라틴, 홀스트 등 일반 상대성 이론의 다양한 형태로 표현될 때, 오직 코스만 리프트를 적용할 경우에만 상호 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

We review the Lagrangian formulation of Noether symmetries (as well as "generalized Noether symmetries") in the framework of Calculus of Variations in Jet Bundles, with a special attention to so-called "Natural Theories" and "Gauge-Natural Theories", that include all relevant Field Theories and physical applications (from Mechanics to General Relativity, to Gauge Theories, Supersymmetric Theories, Spinors and so on). It is discussed how the use of Poincare'-Cartan forms and decompositions of natural (or gauge-natural) variational operators give rise to notions such as "generators of Noether symmetries", energy and reduced energy flow, Bianchi identities, weak and strong conservation laws, covariant conservation laws, Hamiltonian-like conservation laws (such as, e.g., so-called ADM laws in General Relativity) with emphasis on the physical interpretation of the quantities calculated in specific cases (energy, angular momentum, entropy, etc.). A few substantially new and very recent applications/examples are presented to better show the power of the methods introduced: one in Classical Mechanics (definition of strong conservation laws in a frame-independent setting and a discussion on the way in which conserved quantities depend on the choice of an observer); one in Classical Field Theories (energy and entropy in General Relativity, in its standard formulation, in its spin-frame formulation, in its first order formulation "`a la Palatini" and in its extensions to Non-Linear Gravity Theories); one in Quantum Field Theories (applications to conservation laws in Loop Quantum Gravity via spin connections and Barbero-Immirzi connections).

연구 동기 및 목표

• 제트 배ndl에서의 변분법을 사용하여 고전적, 상대론적, 양자장 이론 전반에 걸쳐 노터 대칭성과 보존 법칙을 통합적으로 다루는 것.
• 에너지, 운동량, 각운동량과 같은 보존 양의 물리적 해석을 메트릭, 테트라드, 팔라틴, 홀스트 등 일반 상대성 이론의 다양한 형태에서 명확히 하는 것.
• 중력의 다양한 장이론적 형태 간의 보존 법칙 간의 명백한 불일치를 해결하기 위해 라그랑지안의 리프트를 도입하여 로렌츠 생성자와 시공간 미분동형을 연결하는 것.
• 일반화된 대칭성과 고차 도함수 또는 게이지-자연스러운 이론, 특히 리프레시 양자중력에서의 스핀 접속에까지 노터 정리의 적용 범위를 확장하는 것.
• 강한 및 약한 보존 법칙, 예를 들어 암드 법칙과 유사한 법칙이 변분 연산자와 수퍼포텐셜의 기하학적 구조에서 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 제트 배ndl과 포incare-카르탕 형식의 형식적 접근을 사용하여 자연적 및 게이지-자연스러운 장 이론에서 대칭성과 보존 법칙을 분석한다.
• 변분 연산자의 분해를 적용하여 노터 대칭성의 생성자와 시공간 다양체 위의 (m−1)-형식으로서의 노터 전류를 유도한다.
• 로렌츠 생성자(테트라드 및 아핀 형태에서)를 시공간 미분동형으로 매핑하기 위해 코스만 리프트를 도입하여 다양한 형태 간의 보존 법칙 일관성을 확보한다.
• 일반 상대성 이론의 테트라드-아핀 형태에서의 노터 전류를 Eµ = 4∇ν(eeµ a eν b ˆξab)로 유도하며, 이는 코스만 리프트를 적용할 경우 온-쉘에서 닫혀져 있고 코마르 수퍼포텐셜과 동치임을 보인다.
• 홀스트의 라그랑지안 LH = LtA + βRab ∧ ea ∧ eb를 분석하고, 그 노터 전류와 표준 일반 상대성 이론 전류 간의 차이가 발산임을 보이며, 코스만 리프트를 적용할 경우 이 발산이 사라짐을 보인다.
• 스핀 접속과 바르베로-임머르지 접속이 노터 정리에 의해 보존 양과 연결됨을 보여주기 위해 이 형식을 양자장 이론, 특히 리프레시 양자중력에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭, 테트라드, 팔라틴, 홀스트 형태 등 일반 상대성 이론의 다양한 형태 간에 노터 대칭성과 보존 법칙을 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 테트라드 형태에서의 로렌츠 생성자로부터 유도된 보존 법칙과 표준 일반 상대성 이론에서의 시공간 미분동형으로부터 유도된 보존 법칙을 조율하기 위해 코스만 리프트가 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 왜 테트라드-아핀 및 홀스트 형태에서의 노터 전류가 시공간 벡터 장이 아닌 로렌츠 생성자에 의존하는 것으로 보이며, 이를 물리적 보존 법칙과 어떻게 조율할 수 있는가?
• RQ4 대칭성이 서로 다른 기하학적 구조에 의해 정의될 때, 메트릭 및 테트라드 형태의 중력 이론에서 동일한 보존 양(예: 에너지, 운동량)을 일관되게 식별할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 노터 대칭성과 공변 보존 법칙이 스핀 접속을 통해 리프레시 양자중력 프레임워크로 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 일반 상대성 이론의 테트라드-아핀 형태에서의 노터 전류는 Eµ = 4∇ν(eeµ a eν b ˆξab)로 주어지며, 이는 코스만 리프트를 적용할 경우 온-쉘에서 닫혀져 있고 보존 전류로 해석될 수 있다.
• 코스만 리프트를 적용할 경우, 테트라드-아핀 형태에서의 노터 전류는 코마르 수퍼포텐셜 Eµ tA = 4∇ν(e∇µξν)로 축소되어 표준 일반 상대성 이론의 보존 법칙과 동치가 된다.
• 홀스트의 라그랑지안에 대해, 그 노터 전류와 표준 일반 상대성 이론 전류 간의 차이는 발산이다: EH − EtA = ∇ν(∇ρξσǫµνρσ), 이는 코스만 리프트를 적용할 경우 사라진다.
• 메트릭, 테트라드, 팔라틴, 홀스트 형태의 일반 상대성 이론에서 보존 법칙 간의 동치성은 오직 로렌츠 생성자와 시공간 대칭성 간의 관계를 코스만 리프트로 연결할 때에만 유지된다.
• 이 형식은 일반 상대성 이론의 다양한 형태에서 에너지, 운동량, 각운동량을 일관되게 도출할 수 있게 하며, 코스만 리프트를 통해 물리적 해석이 복원된다.
• 이 방법은 양자장 이론으로까지 확장되며, 리프레시 양자중력에서 스핀 접속과 바르베로-임머르지 접속에 관련된 노터 대칭성으로부터 보존 양을 도출할 수 있음을 보여준다.