[논문 리뷰] Noise Induced Dissipation in Discrete Time Dynamical Systems

Albert Fannjiang, Lech Wołowski|arXiv (Cornell University)|2002. 09. 18.

Chaos control and synchronization참고 문헌 11인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 d차원 원환면 위의 이산시간 동역계에서 가우시안 또는 알파-스테이블 노이즈에 의해 페르투브된 경우의 소산 시간 스케일을 분석한다. 비에르고딕 맵은 O(1/ε)의 소산 시간을 보이며, 에르고딕 토랄 자동사상(예: 고양이 맵)은 O(ln(1/ε))의 소산 시간을 가지며, 이때 상수는 차원 평균 엔트로피와 관련되어 있으며, 딜로판트 대체 이론을 통해 기본 산술 최적화 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We consider dissipative systems resulting from the Gaussian and alpha-stable noise perturbations of measure-preserving maps on the d dimensional torus. We study the dissipation time scale and its physical implications as the noise level ε vanishes. We show that nonergodic maps give rise to an O(1/ε) dissipation time whereas ergodic toral automorphisms, including cat maps and their d-dimensional generalizations, have an O(ln (1/ε)) dissipation time with a constant related to the dimensionally averaged entropy of the automorphisms. Our approach reduces the calculation of the dissipation time to a nonlinear, arithmetic optimization problem which is solved asymptotically by means of some fundamental theorems in Diophantine approximations. 1

연구 동기 및 목표

• 측도를 보존하는 맵이 d차원 원환면 위에 정의된 동역계에서 노이즈 페르투브가 소산 시간 스케일에 미치는 영향을 이해하는 것.
• 가우시안 및 알파-스테이블 노이즈 하에서 비에르고딕 맵과 에르고딕 토랄 자동사상 간의 소산 행동을 구분하는 것.
• 노이즈 수준 ε가 0에 접근함에 따라 소산 시간에 대한 점근적 표현을 유도하는 것.
• 소산 시간 계산을 딜로판트 대체 이론에 뿌리를 두고 있는 비선형 산술 최적화 문제로 환원하는 것.
• 에르고딕 자동사상의 소산 시간과 차원 평균 엔트로피 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 시스템을 가우시안 또는 알파-스테이블 노이즈에 의해 페르투브된 d차원 원환면 위의 측도를 보존하는 맵으로 모델링한다.
• 소산 시간을 노이즈 하에서 초기 조건의 기억을 상실하는 데 걸리는 기대 시간으로 정의한다.
• 궤도의 딜로판트 대체 이론을 포함하는 비선형 산술 최적화 과제로 문제를 환원한다.
• 딜로판트 대체 이론의 기본 정리를 적용하여 최적화 문제를 점근적으로 해결한다.
• 엔트로피 기반 불변량을 사용하여 에르고딕 자동사상의 소산 시간을 특성화한다.
• 노이즈 수준 ε에 대한 소산 시간의 점근적 스케일 법칙을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비에르고딕 맵에서 노이즈 수준 ε이 증가함에 따라 소산 시간은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ2 고양이 맵과 같은 에르고딕 토랄 자동사상에서 노이즈 하에 점근적 소산 시간 스케일링은 어떻게 되는가?
• RQ3 에르고딕 경우에서 소산 시간은 자동사상의 차원 평균 엔트로피와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 딜로판트 대체 이론 성질이 소산 시간 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 소산 시간 계산은 해결 가능한 산술 최적화 문제로 환원될 수 있는가?

주요 결과

• 비에르고딕 맵는 노이즈 수준 ε가 0에 가까워질수록 O(1/ε)의 소산 시간을 보인다.
• 고양이 맵 및 그 d차원 확장과 같은 에르고딕 토랄 자동사상은 O(ln(1/ε))의 소산 시간을 가진다.
• O(ln(1/ε)) 스케일링의 상수는 자동사상의 차원 평균 엔트로피와 명시적으로 관련되어 있다.
• 소산 시간 계산은 딜로판트 대체 이론을 포함하는 비선형 산술 최적화 문제로 환원된다.
• 딜로판트 대체 이론 이론의 깊이 있는 정리를 활용하여 최적화 문제의 점근적 해를 도출한다.
• 결과는 노이즈 하에서 비에르고딕 및 에르고딕 시스템 간의 소산 행동에 근본적인 차이가 있음을 보여준다.