[논문 리뷰] Noisy threshold in neuronal models: connections with the noisy leaky integrate-and-fire model

Grégory Dumont, Jacques Henry외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 10.

Neural dynamics and brain function참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 흐름이 있는 비선형 적분-적합 모형(NLIF)과 나이 구조화된(AS) 탈출률 모형 간의 명시적 적분 변환을 수립한다. NLIF 모형은 흡수 경계를 가진 포크-플랭크(FP) 방정식에 의해 지배되며, AS 모형은 시간에 따라 변하는 임계값 노이즈를 갖는다. 이 변환은 AS 시스템의 해—최근 스파이크 이후 경과한 시간에 따라 반복 상태를 기술함—을 FP 방정식의 해로 매핑하며, 생존 함수와 베이즈의 정리에 기반한 수학적 동치성을 드러낸다. 변환의 커널은 나이에 조건부된 막 전위의 조건부 확률을 나타낸다.

ABSTRACT

Providing an analytical treatment to the stochastic feature of neurons' dynamics is one of the current biggest challenges in mathematical biology. The noisy leaky integrate-and-fire model and its associated Fokker-Planck equation are probably the most popular way to deal with neural variability. Another well-known formalism is the escape-rate model: a model giving the probability that a neuron fires at a certain time knowing the time elapsed since its last action potential. This model leads to a so-called age-structured system, a partial differential equation with non-local boundary condition famous in the field of population dynamics, where the {\it age} of a neuron is the amount of time passed by since its previous spike. In this theoretical paper, we investigate the mathematical connection between the two formalisms. We shall derive an integral transform of the solution to the age-structured model into the solution of the Fokker-Planck equation. This integral transform highlights the link between the two stochastic processes. As far as we know, an explicit mathematical correspondence between the two solutions has not been introduced until now.

연구 동기 및 목표

• 노이즈가 있는 누출 적분-화성(NLIF) 모형과 나이 구조화된(AS) 탈출률 모형이라는 두 가지 주요 신경 생물학적 확률 모델링 형식 간의 엄밀한 수학적 연결을 수립하기 위해.
• NLIF 모형의 포크-플랭크(FP) 해와 AS 시스템의 해 간에 명시적인 연결 고리를 확립하기 위한 장기적인 격차를 해결하기 위해. 이는 스파이크 이후 경과한 시간을 통해 반복 상태를 기술한다.
• 베이즈의 정리를 이용해 변환의 확률론적 해석을 제공하여, 커널이 막 전위 v에 대해 나이 a 조건부 확률 P(v|a)에 해당함을 보여주기 위해.
• 역변환의 가능성을 탐색하며, 시간에 따라 변화하는 커널과 초기 밀도 간의 호환성 조건이 필요하다는 점을 규명하고, 평형 가정 조건 하에서 근사적 역변환을 가능하게 한다.

제안 방법

• 나이 a에 따라 반복 밀도를 기술하는 나이 구조화된(AS) 편미분 방정식의 해를, NLIF 모형의 포크-플랭크(FP) 방정식의 해로 매핑하는 적분 변환을 유도한다.
• 재생 이론의 생존 함수 g(t)를 변환 커널의 핵심 요소로 사용하여, 생존 확률과 임계값 도달 시간 간의 연결 고리를 맺는다.
• 베이즈의 정리를 적용하여 변환 커널 P(v|a)를 나이 a에 조건부된 막 전위 v의 조건부 확률로 해석하며, 시간 불변 동역학이 나이 변수에 의해 내재되어 있음을 보여준다.
• 평형 가정 하에서 후보 역변환을 구성하며, 정적 분포 p∞(v)와 n∞(a)를 사용해 P(a|v)의 시간 불변 버전을 정의한다.
• Euler-Maruyama 및 Gillespie 유사 시뮬레이션을 통해 수치적으로 동치성을 입증하며, 동일한 파arameter 설정 하에서 두 모델이 동일한 스파이크 시간 분포를 생성함을 보여준다.
• 변환을 통해 생성된 해 집합이 t → ∞일 때의 흡인집합(attractor set)을 이룬다는 것을 증명하여, 두 모델 간의 장기적 일관성을 나타낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈가 있는 누출 적분-화성 모형의 포크-플랭크 방정식 해와 탈출률 모형의 나이 구조화된 시스템 해 간에 명시적인 수학적 대응관계를 설정할 수 있는가?
• RQ2 두 모델을 연결하는 적분 변환의 확률적 해석은 무엇이며, 조건부 확률과 생존 함수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 FP 해에서 AS 해로의 역변환을 구성하는 것이 가능한가? 그러한 역변환을 위해 어떤 제약 조건이나 가정이 필요한가?
• RQ4 FP 및 AS 시스템의 초기 조건는 어떻게 관련되어 있으며, 변환이 일관되게 작동하기 위해 만족해야 할 호환성 조건은 무엇인가?
• RQ5 평형 분포는 어떻게 약한 역변환을 가능하게 하는가? 이는 최대 엔트로피 가정과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 나이 구조화된(AS) 시스템의 해는 나이 a에 조건부된 막 전위 v의 조건부 확률 P(v|a)인 커널을 가진 명시적 적분 변환을 통해 포크-플랭크(FP) 방정식의 해로 매핑될 수 있다.
• 이 변환은 재생 이론과 생존 함수에 기반하며, 나이 변수가 모든 필요한 시간적 정보를 포함하므로 커널은 시간 불변이다.
• FP 해가 시간 t가 무한대에 가까워질수록 변환된 AS 해들의 흡인집합임을 입증하여, 두 모델 간의 장기적 역학적 일관성을 나타낸다.
• 평형 가정 하에서 근사적 역변환을 구성하였으며, 정적 분포 p∞(v)와 n∞(a)를 사용해 시간 불변 버전의 P(a|v)를 정의함으로써 장기적 한계에서 이중 방향 매핑을 가능하게 하였다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 두 모델이 동일한 파arameter 설정 하에서 동일한 스파이크 시간 분포를 생성함을 확인하여 이론적 동치성을 검증하였다.
• 이 연구는 AS 모형이 나이 변수를 통해 이전 스파이크 시간에 대한 숨겨진 정보를 포함하고 있음을 드러내었으며, 이는 FP 모형에는 명시적으로 존재하지 않는다. 따라서 완전한 역변환을 위해서는 이러한 호환성 조건이 필요하다.