[논문 리뷰] Non-abelian extensions of infinite-dimensional Lie groups

Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|2005. 04. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 볼록 공간 위에 모델링된 무한차원 리군의 비아벨 확장을 분류하기 위한 코homological 프레임워크를 개발한다. 스무스 외부 작용 $ S $ 에 의해 대응되는 확장들이 스무스 제2 코hom로지 군 $ H^{2}_{ss}(G,Z(N))_S $ 위에서 주 동차 공간을 이루며, 이러한 확장의 존재를 결정하는 데 있어 사라지는 장애물 클래스 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ 가 존재함을 밝힌다.

ABSTRACT

In this paper we study non-abelian extensions of a Lie group $G$ modeled on a locally convex space by a Lie group $N$. The equivalence classes of such extension are grouped into those corresponding to a class of so-called smooth outer actions $S$ of $G$ on $N$. If $S$ is given, we show that the corresponding set $\Ext(G,N)_S$ of extension classes is a principal homogeneous space of the locally smooth cohomology group $H^2_{ss}(G,Z(N))_S$. To each $S$ a locally smooth obstruction class $χ(S)$ in a suitably defined cohomology group $H^3_{ss}(G,Z(N))_S$ is defined. It vanishes if and only if there is a corresponding extension of $G$ by $N$. A central point is that we reduce many problems concerning extensions by non-abelian groups to questions on extensions by abelian groups, which have been dealt with in previous work. An important tool is a Lie theoretic concept of a smooth crossed module $α: H o G$, which we view as a central extension of a normal subgroup of $G$.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 볼록 공간 위에 모델링된 리군의 비아벨 확장을 분류하기.
• 아벨 및 중심 확장에서의 코homological 방법을 비아벨 설정으로 확장하기.
• 확장 클래스를 분류하는 스무스 외부 작용과 관련된 코homology 군을 정의하기.
• 확장의 존재를 결정하는 사라지는 장애물 클래스 조건을 확립하기.
• 확장을 스무스 교차 모듈을 통해 아벨 문제로 환원하는 코homological 기법을 연결하기.

제안 방법

• 항등원 근방에서 스무스 조건을 만족하는 $ G \to \mathrm{Aut}(N) $ 를 만족하는 스무스 외부 작용 $ S: G \to \mathrm{Aut}(N) $ 를 도입하기.
• 반직접곱 $ N \times G $ 에서의 군 곱셈을 코딩하는 2-코체 $ \omega: G \times G \to N $ 를 정의하고, 왜곡된 코체 조건을 만족시키기.
• 공식 $ (n,g)(n',g') = (n S(g)(n') \omega(g,g'), gg') $ 를 통해 $ N \times G $ 에 군 구조를 구성하고, 스무스성과 리군의 구조를 보장하기.
• 항등원 근방에서의 스무스 조건을 갖는 $ Z(N) $-값을 갖는 코체를 사용하여 스무스 군 코hom로지 $ H^{k}_{ss}(G,Z(N))_S $ 를 정의하기.
• 특성 장애물 클래스 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ 를 도입하며, 이 클래스가 0이 되는 것과 확장이 존재하는 것이 정확히 동치임을 보장하기.
• 중앙 확장을 모델링하고 작용 및 코체를 통해 군 확장과 연결하기 위해 스무스 교차 모듈 $ \alpha: H \to G $ 의 개념을 사용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스무스 외부 작용 $ S: G \to \mathrm{Aut}(N) $ 이 리군 확장 $ N \to \widehat{G} \to G $ 로 올라갈 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 확장들의 동치류 집합은 어떻게 매개화될 수 있는가?
• RQ3 확장의 존재를 결정하는 데 있어 제3 코hom로지 군 $ H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ 의 역할은 무엇인가?
• RQ4 코homological 기법을 통해 비아벨 확장을 어떻게 아벨 문제로 환원할 수 있는가?
• RQ5 $ S $ 와 $ \omega $ 에 대한 어떤 스무스 조건이 $ N \times G $ 가 리군의 구조를 지닐 수 있도록 보장하는가?

주요 결과

• 스무스 외부 작용 $ S $ 에 대응하는 확장의 집합 $ \mathrm{Ext}(G,N)_S $ 는 $ H^{2}_{ss}(G,Z(N))_S $ 위에서 주 동차 공간을 이룬다. 즉, 확장들은 이 코hom로지 군에 의해 동치류에 따라 분류된다.
• 장애물 클래스 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ 가 존재하며, 이 클래스가 0이 되는 것과 확장이 존재하는 것이 정확히 동치이다.
• 작용 $ S $ 와 2-코체 $ \omega $ 의 스무스성은 군 $ G $ 의 항등원 근방에서만 요구되며, 이는 국소적 조건에서 전역적 리군의 구조로의 올림을 가능하게 한다.
• 중심 $ Z(N) $ 가 리군이 아니어도 된다. 코hom로지 군은 $ Z(N) $ 자체의 스무스성보다는 $ N $-값 함수의 스무스 조건에 의해 정의된다.
• 스무스 교차 모듈 $ \alpha: H \to G $ 는 중심 확장을 모델링하고 작용 및 코체와 연결하는 프레임워크를 제공한다.
• 연결된 $ G $ 에 대해, $ H $ 가 $ \widehat{G} $ 에 작용하는 스무스성은 국소적 스무스성과 궤도 사상의 스무스성과 동치이며, 이는 관련된 코체 사상의 스무스성으로 환원될 수 있다.