[논문 리뷰] Non-Additive Prolegomena (to any future Arithmetic that will be able to present itself as a Geometry)

Shai Haran|ArXiv.org|2009. 11. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 덧셈 구조를 비덧셈적, 곱셈 기반의 프레임워크로 대체함으로써 수론의 기초적 문제들을 해결하기 위해 링-카테고리와 ${\mathbb{F}}_1$-기하학을 사용하는 비덧셈 기하학적 프레임워크를 제안한다. 이는 실수 소수, 산술 평면, 절대 점과 같은 문제들을 다루며, 완비화된 코homology 시퀀스를 도입하고, 메린 변환과 연결된 딜로르의 교차쌍대성을 통해 리만 제타 함수의 비자명한 영점과 연결되는 교차쌍대성을 제안한다. 이는 기하학적 리만-로흐 이론을 통해 리만 가설을 암시할 수 있다.

ABSTRACT

We give a language for geometry which makes curves and number fields look alike.

연구 동기 및 목표

• 산술과 기하학 사이의 기초적 불일치를 해결하기 위해 덧셈 구조를 링-카테고리와 ${\mathbb{F}}_1$-기하학에 기반한 비덧셈적, 곱셈 기반의 프레임워크로 대체한다.
• 세 핵심 문제를 다루기: 실수 소수 $\eta$, 산술 평면 $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$의 붕괴, 그리고 부재한 절대 점 $\operatorname{Spec}({\mathbb{F}}_1)$.
• 완비화된 코homology 시퀀스를 $\overline{\operatorname{Spec} \mathbb{Z}}$에 대해 구성하여 유한 소수와 아르히메데스 소수를 딜로르 군 $\operatorname{Div}(\mathcal{X})$를 통해 통합한다.
• 함수 공간 $\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$의 메린 변환을 통해 리만 제타 함수의 비자명한 영점을 포함하는 딜로르에 대한 교차쌍대성을 제안한다.

제안 방법

• 링-카테고리를 두 개의 대칭 모나이드 구조($\oplus$, $\otimes$)를 가진 카테고리로 정의하며, $\otimes$ 가 $\oplus$ 에 대해 분배되며, $\mathbb{F}_1$ 이 초기 대상이 되도록 한다.
• 유한 소수와 아르히메데스 소수를 통합하기 위해 딜로르 군 $\operatorname{Div}(\mathcal{X}) \cong \bigoplus_p \mathbb{Z}[p] \oplus \log(\mathbb{R}^+) \cdot [\eta]$ 를 구성한다.
• 완비화된 코homology 시퀀스를 도입: $\{\pm 1\} \to \mathbb{Q}^* \xrightarrow{\operatorname{div}} \operatorname{Div}(\mathcal{X}) \to \mathbb{R}^+ \to \{*\
• 함수 공간 $\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$ 를 $\mathbb{R}^+$ 위에서 컴 pact 지지, 조각별로 미분 가능하고 제어 가능한 감쇠를 가지는 함수로 정의하고, 프뢰리히어 맵 $Fr: \mathcal{W}(\mathbb{R}^+) \to \operatorname{Div}(\mathcal{X})$ 를 도입한다.
• 메린 변환을 통한 교차쌍대성을 제안: $(Fr(f_1), Fr(f_2)) = \hat{f}_1(0)\hat{f}_2(1) + \hat{f}_1(1)\hat{f}_2(0) - \sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}_1(\alpha) \hat{f}_2(1-\alpha)$.
• Fr 가 $\mathbb{Z}$-선형이면서 콘볼루션과 쌍대성을 유지한다고 추측: $Fr(f_1 * f_2) = Fr(f_1) * Fr(f_2)$ 와 $Fr(f^\natural) = Fr(f)^\natural$, 여기서 $f^\natural(x) = x^{-1}f(x^{-1})$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 링-카테고리와 ${\mathbb{F}}_1$-기하학에 기반한 비덧셈 기하학적 프레임워크가 산술과 기하학 사이의 기초적 불일치를 해결할 수 있는가?
• RQ2 완비화된 코homology 시퀀스 $\overline{\operatorname{Spec} \mathbb{Z}}$ 가 딜로르 군 $\operatorname{Div}(\mathcal{X})$ 를 통해 유한 소수와 아르히메데스 소수를 정확히 포함하는가?
• RQ3 함수 공간 $\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$ 의 메린 변환을 통해 $\operatorname{Div}(\mathcal{X})$ 에 대한 교차쌍대성을 구성할 수 있으며, 이는 리만 제타 함수의 비자명한 영점을 탐지할 수 있는가?
• RQ4 함수 공간 $\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$ 에서 $\operatorname{Div}(\mathcal{X})$ 로의 프뢰리히어 맵 $Fr$ 는 콘볼루션과 쌍대성과 호환되며, 딜로르 곱셈의 대수적 구조를 유지하는가?
• RQ5 함수 공간 $\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$ 에서 리만 제타 함수의 비자명한 영점이 국소화되는 함수 $f$ 가 존재한다면, 캐스텔누오보-세비에 부등식과 $\mathcal{X}$ 에 대한 리만-로흐 이론을 통해 리만 가설이 도출되는가?

주요 결과

• 딜로르 군 $\operatorname{Div}(\mathcal{X})$ 는 $\bigoplus_p \mathbb{Z}[p] \oplus \log(\mathbb{R}^+) \cdot [\eta]$ 와 동형이며, 이는 하나의 기하적 대상에서 유한 소수와 아르히메데스 소수를 통합한다.
• 완비화된 코homology 시퀀스 $\{\pm 1\} \to \mathbb{Q}^* \xrightarrow{\operatorname{div}} \operatorname{Div}(\mathcal{X}) \to \mathbb{R}^+ \to \{*\
• 딜로르 군 $\operatorname{Div}(\mathcal{X})$ 에 대한 교차쌍대성은 $(Fr(f_1), Fr(f_2)) = \hat{f}_1(0)\hat{f}_2(1) + \hat{f}_1(1)\hat{f}_2(0) - \sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}_1(\alpha) \hat{f}_2(1-\alpha)$ 로 추측되며, 여기서 $\hat{f}$ 는 메린 변환이다.
• 프뢰리히어 맵 $Fr$ 는 $\mathbb{Z}$-선형이면서 콘볼루션과 쌍대성을 유지한다고 추측된다: $Fr(f_1 * f_2) = Fr(f_1) * Fr(f_2)$ 와 $Fr(f^\natural) = Fr(f)^\natural$, 여기서 $f^\natural(x) = x^{-1}f(x^{-1})$.
• 함수 공간 $\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$ 에서 $\sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}(\alpha) \overline{\hat{f}(1-\bar{\alpha})} < 0$ 를 만족하는 함수 $f$ 가 존재한다면, 캐스텔누오보-세비에 부등식에 의해 리만 가설이 도출된다.
• 전체 프레임워크는 기본 함수의 $\mathbb{Z}$-선형 조합, 콘볼루션, 쌍대를 통해 모든 이러한 함수를 생성할 수 있을 것이라 추측되며, $\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$ 는 $\sum_{i,j} m_{i,j} f_{i_1} * \cdots * f_{i_k} * f_{j_1}^\natural * \cdots * f_{j_l}^\natural$ 의 $\mathbb{Z}$-스팬이다.