[논문 리뷰] Non-anomalous non-invertible symmetries in 1+1D from gapped boundaries of SymTFTs

Pavel Putrov, Rajath Radhakrishnan|arXiv (Cornell University)|2024. 05. 07.

Atomic and Subatomic Physics Research인용 수 8

한 줄 요약

본 논문은 2+1D 대칭성 양자장(SymTFT) Z(C)의 갭 경계를 분류하는 라그랑지안 대수(Lagrangian algebras)가 대칭성 C를 가진 1+1D QFT의 비가역(non-invertible) 선 연산자와 관련되며, 비가역 게이징에 대한 기준과 같은 SymTFT를 공유하는 융합 범주들 간에 대수를 운반하는 벌크-경계 맵을 제공한다.

ABSTRACT

We study the anomalies of non-invertible symmetries in 1+1D QFTs using gapped boundaries of its SymTFT. We establish the explicit relation between Lagrangian algebras which determine gapped boundaries of the SymTFT, and algebras which determine non-anomalous/gaugeable topological line operators in the 1+1D QFT. If the Lagrangian algebras in the SymTFT are known, this provides a method to compute algebras in all fusion categories that share the same SymTFT. We find necessary conditions that a line operator in the SymTFT must satisfy for the corresponding line operator in the 1+1D QFT to be non-anomalous. We use this constraint to show that a non-invertible symmetry admits a 1+1D trivially gapped phase if and only if the SymTFT admits a magnetic Lagrangian algebra. We define a process of transporting non-anomalous line operators between fusion categories which share the same SymTFT and apply this method to the three Haagerup fusion categories.

연구 동기 및 목표

• Z(C)의 갭 경계에 해당하는 것이 C 대칭성을 가진 1+1D QFT의 비이상 선 연산자에 어떻게 대응하는지 이해한다.
• Z(C)의 라그랑지안 대수와 C의 대수 사이의 구체적 관계를 확립하여 게이블 가능한 선들을 결정한다.
• 벌크-경계 맵을 통해 C의 대수와 비이상 선들을 판별하는 게이블 가능성의 Morita 등가 클래스의 물리적으로 동등한 게이징을 포착하도록 실용적 기준을 제시한다.
• 이미 알려진 라그랑지안 대수에서 같은 SymTFT를 공유하는 모든 융합 범주에서 대수를 계산하는 프레임워크를 제시한다.
• Haagerup 융합 범주와 같은 예를 통해 이 프레임워크를 적용하고, 같은 범주 간의 비이상 선의 전이를 논의한다.

제안 방법

• Z(C)에서 갭 경 boundary를 결정하는 Lagrangian 대수 L을 정의한다.
• 벌크-경계 맵 F: Z(C) -> C를 사용하여 F(L)을 통해 C에서의 비가역 선 연산자와 연결한다.
• F(L)이 비가역 선 연산자임을 증명하고, 그 Morita 동등성 클래스가 물리적으로 동등한 게이징을 포착함을 보인다(정리 5.1).
• C의 대수 A의 곱셈 데이터를 대응하는 L의 곱셈 데이터와 관련시키며(명시적 식, Eq. 32).
• 주어진 경계 대수에 대응하는 라그랑지안 대수를 결정하기 위해 경계-벌크 맵 K를 도입한다.
• 가역 대칭의 특수한 경우를 다루고 이에 관련된 결과를 제시한다(정리 5.2).
• 동일한 SymTFT를 공유하는 융합 범주들 사이에서 비이상 선 연산자를 전이시키는 방법을 설명하고, Haagerup 범주에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Z(C)의 갭 경계가 C 대칭성을 가진 1+1D QFT의 비이상/게이지 가능한 선 연산자를 어떻게 인코딩하는가?
• RQ2 Z(C)의 라그랑지안 대수와 C의 대수 사이의 비게이지 가능한 선들을 결정하는 명시적 관계는 무엇인가?
• RQ3 C의 선 연산자가 Z(C)에서 라그랑지안 대수를 가지며 따라서 비이상 게이징을 허용하는지 여부는 언제 결정되는가?
• RQ4 동일한 SymTFT를 공유하는 융합 범주들 간에 비이상 선 연산자를 어떻게 전이시킬 수 있는가?
• RQ5 벌크-경계 맵이 Z(C)의 알려진 라그랑지안 대수에서 C의 대수를 도출하고 그 역도 어떻게 하는가에서의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• Z(C)의 라그랑지안 대수 L은 C의 대수 객체들의 합으로 구성된 벌크-경계 융합 객체 F(L)로 변환되며, 이는 비이상적이다.
• F(L) 내부에 포함된 C의 게이지 가능한 대수의 Morita 등가 클래스는 물리적으로 동등한 게이징을 포착한다.
• C의 대수 A의 곱셈에 대한 Lagrangian 대수 L의 곱셈 데이터와의 명시적 식(Eq. 32)이 존재한다.
• 벌크-경계 맵과 경계-벌크 맵은 Z(C)의 L과 C의 비이상 선 연산자 사이를 연결하여, C의 대수에서 경갭 경계를 결정하거나 그 역도 가능하게 한다.
• 모듈러(C)일 때, L과 F(L)은 표면 연산자의 선에 대한 작용 및 그 게이지화된 대수와 관련된 벌크 해석을 갖는다.
• 이 프레임워크는 C의 대수로 라그랑지안 대수를 구성하는 선 연산자들을 분류하고, 같은 SymTFT를 공유하는 범주들 간의 비이상 선의 이동을 가능하게 하며(Haagerup 범주로 예시를 제시), 이를 통해 Z(C)의 선 연산자 분석에 활용된다.