[논문 리뷰] Non-Arbitrage under a Class of Honest Times

Tahir Choulli, Anna Aksamit외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정지시각이 아니지만 금융 시장에서 NUPBR(유한한 손실에 대한 무한한 이윤이 없는 조건) 조건을 유지하는 새로운 유형의 정직한 시간을 도입한다. 초기 시장 모델과 이러한 정직한 시간의 쌍을 특성화함으로써, τ 이후 시장이 무위험자본시장 조건을 유지할 조건을 설정하고, 위험중립화 모델에서 'τ 이후' 동적 구조에 대해 명시적인 국소 martingale deflator를 구성한다.

ABSTRACT

This paper quantifies the interplay between the non-arbitrage notion of No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (NUPBR hereafter) and additional information generated by a random time. This study complements the one of Aksamit/Choulli/Deng/Jeanblanc [1] in which the authors studied similar topics for the case of stopping at the random time instead, while herein we are concerned with the part after the occurrence of the random time. Given that all the literature -up to our knowledge- proves that the NUPBR notion is always violated after honest times that avoid stopping times in a continuous filtration, herein we propose a new class of honest times for which the NUPBR notion can be preserved for some models. For this family of honest times, we elaborate two principal results. The first main result characterizes the pairs of initial market and honest time for which the resulting model preserves the NUPBR property, while the second main result characterizes the honest times that preserve the NUPBR property for any quasi-left continuous model. Furthermore, we construct explicitly "the-after-tau" local martingale deflators for a large class of initial models (i.e. models in the small filtration) that are already risk-neutralized.

연구 동기 및 목표

• 정지시각이 아닌 랜덤 시간 τ 이후에도 NUPBR 조건이 유지되는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 정지시각이 아니지만 τ 이후 시장에서 NUPBR 성질을 유지하는 새로운 유형의 정직한 시간를 규명하기 위해.
• 초기 시장 모델과 정직한 시간의 쌍이 τ 이후에도 NUPBR를 유지하는 조건을 특성화하기 위해.
• 위험중립화 모델에서 'τ 이후' 동적 구조에 대해 명시적인 'τ 이후' 국소 martingale deflator를 구성하기 위해.
• 추가 정보를 포함하는 랜덤 시간이 있는 모델에서 NUPBR의 적용 범위를, 특히 준좌측연속적 설정에서 확장하기 위해.

제안 방법

• 모든 정지시각과 일부 비정지시각을 포함하는 새로운 유형의 정직한 시간을 도입하여, τ 이후에 반세마알리티와 NUPBR가 유지되도록 보장한다.
• Dellacherie-Mokobodski 기준을 적용하여 확대된 필터링 G 하에서 S − S^τ의 반세마알리티 성질을 분석한다.
• NUPBR와 수익 과정의 국소적 적분 가능성 간의 등가성을 이용하여 점프 측도의 보정자에 대한 조건을 유도한다.
• Galtchouk-Kunita-Watanabe 분해와 밀도 과정 Z를 통한 Girsanov 유사 전환을 활용하여 P와 Q 하에서의 동적 구조를 연결한다.
• 정리 A.1을 적용하여 서로 다른 측도 하에서 τ 이후 과정의 예측 가능 특성들을 비교함으로써, NUPBR 조건이 동등함을 보장한다.
• 기능 K와 밀도 과정 Z를 통해 명시적인 국소 martingale deflator를 구성함으로써, τ 이후 모델이 무위험자본시장 조건을 유지하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정지시각이 아닌 랜덤 시간 τ 이후에도 NUPBR 조건이 유지될 수 있는가?
• RQ2 어떤 유형의 정직한 시간이 τ 이후 시장 (S − S^τ)이 무위험자본시장 조건을 유지할 수 있도록 하는가?
• RQ3 초기 시장 모델과 τ에 대해 어떤 조건이 확대된 필터링 G 가 NUPBR를 유지하는가?
• RQ4 위험중립화 모델에서 'τ 이후' 동적 구조에 대해 국소 martingale deflator를 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 점프 측도의 보정자와 밀도 과정 Z는 τ 이후 NUPBR를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 모든 정지시각과 일부 비정지시각을 포함하는 새로운 유형의 정직한 시간를 규명하였으며, 이에 대해 τ 이후 NUPBR 조건이 유지됨을 보였다.
• τ 이후 모델 (S − S^τ, G) 이 NUPBR를 만족하는 쌍 (S, τ)를 특성화하였으며, 공개 정보로부터 관측 가능한 기능 K를 통해 무위험자본시장 조건의 결정 요소를 제공하였다.
• 모든 준좌측연속적 초기 모델에 대해, NUPBR 성질은 τ 이후에 보존되며, 이는 점프 측도의 보정자가 밀도 과정 Z를 포함하는 특정 적분 가능성 조건을 만족할 때에 한하여 성립한다.
• 기능 K와 밀도 과정 Z를 사용하여 'τ 이후' 동적 구조에 대해 명시적인 국소 martingale deflator를 구성하였으며, 이로써 τ 이후 시장가 무위험자본시장 조건을 유지함을 보장하였다.
• 초기 필터링 F 하에서 (1 − Z_−) · V 의 국소 적분 가능성과 (S − S^τ, G) 에서의 NUPBR 조건 간의 등가성을 확립하였으며, 이는 실용적인 판단 기준을 제공한다.
• 증명은 등가 측도 하에서 예측 가능 특성의 비교와 정리 A.1의 적용에 기반하여, 보정자 구조가 새로운 정보와 호환될 경우 NUPBR 조건이 유지됨을 보였다.