[논문 리뷰] Non-Arbitrage up to Random Horizon for Semimartingale Models

Anna Aksamit, Tahir Choulli외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 41인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 반마르코프 자산 수익률 과정이 랜덤 시간에 정지될 때, 유한한 위험에 대한 무한한 수익을 얻을 수 없는(NUPBR) 성질이 유지되는 데 필요한 필수조건과 충분조건을 설정한다. 점진적 필터의 확대와 마르코프 디플레이터 기법을 사용하여, NUPBR를 유지하는 시장 모델과 랜덤 시간의 쌍을 특성화하고, 모든 모델에서 NUPBR를 보존하는 랜덤 시간을 규명한다.

ABSTRACT

This paper addresses the question of how an arbitrage-free semimartingale model is affected when stopped at a random horizon. We focus on No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (called NUPBR hereafter) concept, which is also known in the literature as the first kind of non-arbitrage. For this non-arbitrage notion, we obtain two principal results. The first result lies in describing the pairs of market model and random time for which the resulting stopped model fulfills NUPBR condition. The second main result characterises the random time models that preserve the NUPBR property after stopping for any market model. These results are elaborated in a very general market model, and we also pay attention to some particular and practical models. The analysis that drives these results is based on new stochastic developments in semimartingale theory with progressive enlargement. Furthermore, we construct explicit martingale densities (deflators) for some classes of local martingales when stopped at random time.

연구 동기 및 목표

• 반마르코프 자산 수익률 과정이 랜덤 시간에 정지될 때 NUPBR 성질이 유지되는 조건을 규명하는 것.
• 모든 초기 반마르코프 시장 모델에 대해 NUPBR 성질을 유지하는 랜덤 시간을 규명하는 것.
• 점진적 필터 확대를 이용한 랜덤 수익률 수준에서의 비아웃리에지 조건 분석을 위한 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• 특정 클래스의 모델에서 정지된 국소 마르코프 과정에 대해 명시적인 국소 마르코프 디플레이터를 구성하는 것.
• 초기 시장 모델의 구조와 랜덤 시간의 성격, 특히 준좌측연속성 및 예측 가능한 점프를 갖는 희박한 과정에서의 상호작용을 다루는 것.

제안 방법

• 반마르코프 프레임워크에서 랜덤 정보의 도래(랜덤 시간)를 모델링하기 위해 필터의 점진적 확대를 활용한다.
• 특히 임의의 측도와 과정의 선택적 및 예측 가능 프로젝션을 사용한 반마르코프에 대한 확률적 미적분을 적용한다.
• 정지된 모델에서 NUPBR 조건을 특성화하기 위해 국소 마르코프 디플레이터(또는 확률적 할인 요소)의 개념을 활용한다.
• 확대된 필터의 역동성을 묘사하기 위해 $ Z = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{\tau > \cdot\}} \mid \mathcal{F}_\cdot] $, 즉 생존 과정을 도입하고 분석한다.
• 확대된 필터 $ \mathbb{G} $ 하에서 국소 마르코프 과정에 대한 새로운 선택적 분해 공식을 수립하여, 정지된 국소 마르코프 과정의 분해를 가능하게 한다.
• 컴 pensator의 $ \mathbb{F} $-예측 가능성과 $ \mathbb{G} $-국소 적분 가능성 조건을 사용하여 랜덤 시간 $ \tau $ 의 점프 구조에 대한 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반마르코프 과정 $ S $ 와 랜덤 시간 $ \tau $ 의 쌍 $ (S, \tau) $ 에서, 정지된 과정 $ S^\tau $ 가 NUPBR 조건을 만족하는가?
• RQ2 모든 초기 반마르코프 시장 모델 $ S $ 에 대해 NUPBR 성질을 유지하는 랜덤 시간 $ \tau $ 는 무엇인가?
• RQ3 특히 그 예측 가능성과 $ \mathbb{F} $-정지 시간을 피하는 성격을 갖는 랜덤 시간 $ \tau $ 의 구조가 NUPBR 보존에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 점진적 확대 하에서 정지된 국소 마르코프 과정의 국소 마르코프 디플레이터가 존재하고 잘 행동하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 확대된 필터 $ \mathbb{G} $ 하에서 국소 마르코프 과정의 선택적 분해가 NUPBR 조건을 특성화하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 $ \tau $ 조건 하에서, $ S^\tau $ 가 NUPBR 성질을 보존하는 것은, $ S $ 의 점프 측도의 $ \mathbb{G} $-선택적 프로젝션의 보상 측도가 $ \mathbb{F} $ 하에서 국소 적분 가능할 때에만 성립한다.
• 준좌측연속 과정의 경우, $ S^\tau $ 가 NUPBR 성질을 가질 조건은 $ \tau $ 가 $ \mathbb{F} $-정지 시간을 거의 확실히 피하고, $ \mu^\tau $ 의 보상 측도가 국소 $ \mathbb{F} $-적분 가능할 때에 한하여 성립한다.
• 모든 초기 모델 $ S $ 에 대해 NUPBR 성질을 보존하는 랜덤 시간 $ \tau $ 는 $ \tau $ 가 $ \mathbb{G} $-정지 시간이면서 $ \mu^\tau $ 의 보상 측도가 국소 $ \mathbb{F} $-적분 가능할 때에만 성립한다.
• 예측 가능한 점프를 갖는 희박한 과정의 경우, $ \mathbb{F} $-예측 가능 프로젝션을 이용해 정지된 국소 마르코프 과정에 대해 명시적인 국소 마르코프 디플레이터를 구성한다.
• 증명 과정에서 $ hI_{\{Z_- \geq \delta\}} \star (\widetilde{Z} \cdot \mu) \in \mathcal{A}^+_{\text{loc}}(\mathbb{F}) $ 이고, $ hI_{\{Z_- \geq \delta\}}I_{[\![0,\tau]\!]} \star \mu \in \mathcal{A}^+_{\text{loc}}(\mathbb{G}) $ 이며, 이는 핵심 적분 가능성 조건을 제공한다.
• 생존 과정 $ Z $, 즉 $ Z_t = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{\tau > t\}} \mid \mathcal{F}_t] $ 는 확대된 필터의 역동성과 보상 측도의 적분 가능성 특성을 특성화하는 데 중심적인 역할을 한다.