[논문 리뷰] Non-Archimedean analytic curves in the complements of hypersurface divisors

Ta Thi Hoai An, Julie Tzu‐Yueh Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 사영 다양체에서 초곡면 분할의 여부에 대한 비아르키메데스 해석적 사상에 대해 연구하며, 이러한 사상이 대수적으로 열악하거나 상수일 조건을 규명한다. 각 $ D_i $가 최소한 2차의 일반적인 초곡면일 경우 $ \mathbb{P}^n\setminus\bigcup_{i=1}^n D_i $ 는 $ K $-초구형이며, $ \deg D_1 + \deg D_2 \geq 4 $ 이면 $ \mathbb{P}^2\setminus\bigcup_{i=1}^2 D_i $ 도 $ K $-초구형임을 증명하며, 이 경계의 날카러움은 명시적 구성에 의해 입증된다.

ABSTRACT

We study the degeneration dimension of non-archimedean analytic maps into the complement of hypersurface divisors of smooth projective varieties. We also show that there exist no non-archimedean analytic maps into $P^n\setminus\cup_{i= 1}^n D_i$ where $D_i, 1\le i\le n$, are hypersurfaces of degree at least 2 in general position and intersecting transversally. Moreover, we prove that there exist no non-archimedean analytic maps into $P^2\setminus\cup_{i=1}^2 D_i$ when $D_1, D_2$ are generic plane curves with deg$D_1+$deg$D_2\ge 4$.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 사영 다양체에서 초곡면 분할의 여부에 대한 비아르키메데스 해석적 사상의 열악성과 초구형성에 대해 연구한다.
• Brody 초구형성과 Green-Griffiths 유형의 추측에 대한 비아르키메데스 해석적 유사체를 다수의 초곡면의 여부로 확장한다.
• 특히 $ \mathbb{P}^n $ 과 $ \mathbb{P}^2 $ 에서 이러한 사상이 대수적으로 열악하거나 상수일 수 있는 날카로운 조건을 규명한다.
• 초구형성이 실패할 경우 비상수 해석적 사상을 명시적으로 구성함으로써 경계의 날카러움을 입증한다.
• 비아르키메데스 해석적 Kobayashi-Zaidenberg 추측의 $ \mathbb{P}^n $ 에서의 버전을 $ \geq 2 $ 차의 일반적인 초곡면 $ n $ 개에 대해 검증한다.

제안 방법

• 비아르키메데스 Nevanlinna 이론의 제2주요 정리( Ru [10] ) 를 사용하여 분할을 피하는 해석적 사상의 성장률을 통제한다.
• 분할의 일반 위치 조건을 적용하여 교차가 횡단되도록 하고 공통 부분의 코드미너션을 통제한다.
• 비아르키메데스 설정에서 Picard 정리를 적용함으로써 문제를 곡선으로 환원한다.
• Bezout 정리를 사용하여 교차의 차수를 유계화하고, 교차 조건을 위반할 경우 비상수 사상이 존재하지 않음을 제거한다.
• 선과 이차 곡선의 유리 매개변수화를 통한 명시적 해석적 사상의 구성.
• 좌표의 선형 변화를 사용하여 명시적 확인이 가능한 표준 형태로 환원한다 (예: $ D_1 = \{X_0 = 0\} $, $ D_2 = \{X_1 = 0\} $).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 사영 $ n $-다양체에서 $ n $ 개의 초곡면의 차수와 위치에 대해 어떤 조건에서 $ \mathbb{P}^n \setminus \bigcup_{i=1}^n D_i $ 가 $ K $-초구형이 되는가?
• RQ2 $ \mathbb{P}^2 \setminus (D_1 \cup D_2) $ 가 비상수 비아르키메데스 해석적 사상을 포함할 수 있는가, 그리고 언제 $ K $-초구형이 되는가?
• RQ3 매끄러운 사영 다양체 $ X $ 에 대해 비상수 해석적 사상 $ f: K \to X \setminus \bigcup_{i=1}^q D_i $ 의 이미지의 조르지 클로처의 최대 가능한 차원은 무엇인가?
• RQ4 접선과 변곡점 조건은 $ \mathbb{P}^2 $ 에서 직선과 이차 곡선을 제외한 영역으로의 비상수 해석적 사상의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $ \sum_{i=1}^q \deg D_i \geq 2n $ 이고 $ q \leq n $ 이면 $ \mathbb{P}^n \setminus \bigcup_{i=1}^q D_i $ 가 $ K $-초구형이라는 추측은 참인가, 그리고 어떤 조건에서 날카로운가?

주요 결과

• 매끄러운 사영 $ n $-다양체 $ X $ 와 일반 위치에 있는 $ q $ 개의 분할 $ D_i $ 에 대해, 비아르키메데스 해석적 사상 $ f: K \to X \setminus \bigcup_{i=1}^q D_i $ 의 이미지는 코드미너션 $ \min\{n+1, q\} - 1 $ 의 부분다양체에 포함된다.
• $ \mathbb{P}^n \setminus \bigcup_{i=1}^n D_i $ 는 각 $ D_i $ 가 최소한 2차의 일반적인 초곡면일 경우 $ K $-초구형이며, 이는 $ n $ 개의 분할에 대해 비아르키메데스 해석적 Kobayashi-Zaidenberg 추측의 증명이다.
• $ \mathbb{P}^2 \setminus \bigcup_{i=1}^2 D_i $ 는 $ \deg D_1 + \deg D_2 \geq 4 $ 이면 $ K $-초구형이며, 이 경계는 $ \deg D_1 = 1 $, $ \deg D_2 = 2 $ 일 때 명시적 구성에 의해 날카로움이 입증된다.
• $ D_1 $ 이 직선이고 $ D_2 $ 가 $ D_1 $ 과 최대 변곡점에서 접하는 이차 곡선일 경우, $ \mathbb{P}^2 \setminus (D_1 \cup D_2) $ 로의 비상수 해석적 사상이 존재하며, 이는 이 경우 초구형 조건이 실패함을 보여준다.
• $ D_1 $ 이 직선이고 $ D_2 $ 가 $ D_2 $ 와 최대 변곡점에서 접하지 않는 삼차 또는 그 이상의 곡선일 경우, $ \mathbb{P}^2 \setminus (D_1 \cup D_2) $ 는 $ K $-초구형이며, 비상수 사상은 너무 많은 교차점을 가진 곡선을 통과해야 하므로 강제된다.
• $ \mathbb{P}^2 \setminus \{X_0=0\} \cup \{X_1=0\} $ 에서 $ f(z) = (1,1,z) $ 의 예는 $ K $-초구형이 성립하지 않음을 보이며, 이미지는 원점을 제외한 직선에 위치하여 코드미너션 경계의 날카러움을 입증한다.