[논문 리뷰] Non cancellation for smooth contractible affine threefolds

Adrien Dubouloz, Lucy Moser-Jauslin외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 27.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 서로 비이sov모르픽인 매끄럽고 수축 가능하며 3차원 아핀 다양체 $X_a$와 $X_b$를 서로 다른 복소수 매개변수 $a \neq b$에 대해 구성하여, 그 실린더 $X_a \times \mathbb{A}^1$과 $X_b \times \mathbb{A}^1$이 서로 이sov모르픽임을 증명함으로써, 매끄럽고 수축 가능한 3차원 아핀 다양체에 대한 일반화된 취소 문제에 대한 첫 번째 반례를 제시한다. 비록 대수적 구조가 이sov모르픽하지만, 이 다양체들은 복소 해석적 다양체로서 이sov모르픽이며, 따라서 대수적 구조에서는 이sov모르픽이지만 해석적 구조에서는 이sov모르픽인 '기타' $\mathbb{A}^3$의 첫 번째 예를 제공한다.

ABSTRACT

We construct two non isomorphic contractible affine threefolds X and Y with isomorphic cylinders, showing that the generalized Cancellation Problem has a negative answer in general for contractible affine threefolds. We also establish that X and Y are actually biholomorphic as complex analytic varieties, providing the first example of a pair of biholomorphic but not isomorphic exotic affine 3-spaces.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 수축 가능한 아핀 3차원 다양체에 대한 일반화된 취소 문제를 해결하기 위해, $X \times \mathbb{A}^1 \cong Y \times \mathbb{A}^1$ 이지만 $X \not\cong Y$인 반례를 구성하는 것.
• 기타 $\mathbb{A}^3$—즉, 매끄럽고 수축 가능하며 $\mathbb{A}^3$와 이sov모르픽이 아닌—다양체들이 복소 해석적 다양체로서 이sov모르픽이 될 수 있는지 조사하는 것.
• 방정정식 $x^n y + z^2 + t^3 + x p(x) = 0$로 정의된 아핀 3차원 다양체의 가중족 $X_{n,p}$를 이sov모르픽성과 실린더 이sov모르픽성에 따라 분류하는 것.
• 로그 변환 카다이라 차원 조건이 취소를 보장하는 것으로 알려져 있으나, 이 조건이 수축 가능한 다양체에 대해 3차원에서는 취소가 실패할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 매개변수 $a \in \mathbb{C}$에 따라 정의된 매끄러운 아핀 3차원 다양체 $X_a \subset \mathbb{A}^4$의 일차원 가중족을 구성하고, $x^4 y + z^2 + t^3 + x + x^2 + a x^3 = 0$로 정의하며, 이들이 수축 가능하고 $\mathbb{A}^3$와 이sov모르픽임을 증명하는 것.
• $\mathbb{G}_a$-작용 이론과 에탈리트 트리비아라이제이션을 사용하여 실린더 $X_a \times \mathbb{A}^1$의 구조를 분석하고, 공통의 몫 공간 $\mathfrak{S}$를 통해 이들이 이sov모르픽임을 보이는 것.
• $X_a$와 $Y_a$ (관련된 가중족) 위의 $\mathbb{G}_a$-_bundle이 암시적으로 생성된 Čech 1-코호몰로지 족을 구성하고, $x, \lambda, v$에 대한 유리함수를 사용하여 이들이 코 boundary임을 보이는 것.
• $X_a \times \mathbb{A}^1 \to \mathfrak{S}$와 $Y_a \times \mathbb{A}^1 \to \mathfrak{S}$가 모두 $\mathbb{G}_a$-_bundle으로서 자명함을 증명하고, 공통의 스킴 $W$에 대해 $X_a \times \mathbb{A}^1 \cong W \cong Y_a \times \mathbb{A}^1$임을 유도함으로써 실린더가 이sov모르픽임을 보이는 것.
• Dimca의 결과에 의해 다양체 $X_a$들이 $\mathbb{R}^6$와 미분형임을 이용하여 이들이 기타 $\mathbb{A}^3$임을 결론내고, 명시적인 해석적 이sov모르픽 사상으로 이들이 복소 해석적 다양체로서 이sov모르픽임을 보이는 것.
• $\mathbb{A}^1$-fibration의 분류와 계수 3차원 다양체의 열화된 섬유의 구조를 활용하여, 서로 다른 $a$에 대해 $X_a$들이 이sov모르픽이 아님을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄럽고 수축 가능한 아핀 3차원 다양체에 대해 일반화된 취소 문제는, 다양체가 이sov모르픽이지만 실린더는 이sov모르픽일 경우에도 실패할 수 있는가?
• RQ2 기타 $\mathbb{A}^3$의 쌍 중에서 복소 해석적 다양체로서는 이sov모르픽이지만 대수적 다양체로서는 이sov모르픽이 아닌 경우가 존재하는가?
• RQ3 방정식 $x^4 y + z^2 + t^3 + x + x^2 + a x^3 = 0$로 정의된 가중족 $X_a$에 대해 실린더 $X_a \times \mathbb{A}^1$의 구조는 어떠한가? 다른 유사한 다양체들과는 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 실린더 $X_a \times \mathbb{A}^1$의 이sov모르픽 유형이 서로 다른 매개변수 $a$에 대해 일정하게 유지되는가, 즉 $X_a$들이 상호 이sov모르픽이 아니더라도 말이다?
• RQ5 2차원에서는 관찰되는 바와 달리, 수축 가능하고 계수인 다양체에 대해 3차원에서는 취소 실패가 지속되는가?

주요 결과

• 방정식 $x^4 y + z^2 + t^3 + x + x^2 + a x^3 = 0$로 정의된 다양체 $X_a$는 모든 $a \in \mathbb{C}$에 대해 매끄럽고 수축 가능하며, $\mathbb{A}^3$와 이sov모르픽이므로 기타 $\mathbb{A}^3$로 간주된다.
• 모든 $a \in \mathbb{C}$에 대해 실린더 $X_a \times \mathbb{A}^1$은 상호 이sov모르픽이며, 이는 매끄럽고 수축 가능한 아핀 3차원 다양체에 대한 일반화된 취소 문제에 대한 첫 번째 반례를 제공한다.
• $a \neq b$인 경우 $X_a$와 $X_b$는 대수적 다양체로서 상호 이sov모르픽이지만, 실린더는 이sov모르픽이다.
• 모든 $X_a$는 복소 해석적 다양체로서 이sov모르픽이며, 이는 이sov모르픽이지만 해석적으로 이sov모르픽인 기타 $\mathbb{A}^3$의 첫 번째 예를 제공한다.
• 실린더 $X_a \times \mathbb{A}^1$의 이sov모르픽 유형은 $a$에 관계없이 일정하며, 공통의 몫 공간 $\mathfrak{S}$와 $X_a$, $Y_a$ 위의 $\mathbb{G}_a$-bundle의 자명화, 명시적인 Čech 족의 코 boundary 조건을 통해 이를 보였다.
• 이 구성은 로그 변환 카다이라 차원 조건이 낮은 차원에서는 취소를 보장하지만, 3차원에서 수축 가능한 다양체에 대해서는 취소를 방지하지 못함을 보여준다.