[논문 리뷰] Non-classifiability of Ergodic Flows up to Time Change

Marlies Gerber, Philipp Kunde|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 에르고딕 측도를 보존하는 변환에 대한 카쿠타니 동치 관계가 보렐 집합이 아니라는 것을 증명하여, 카쿠타니 동치에 대해 분류하는 것이 본질적으로 분류할 수 없다는 것을 밝힌다. 불완전한 트리의 공간으로부터의 연속적 감소를 사용하여, 저자는 이 반분류 결과가 원기지의 비틀림 작용을 가진 컴act 표면 위의 에르고딕 $C^\infty$ 미분구상과 2-토러스 위의 해석적 미분구상에 대해서도 성립함을 보인다.

ABSTRACT

A time change of a flow $\{T_t\}$, ${t\in\mathbb{R}}$, is a reparametrization of the orbits of the flow such that each orbit is mapped to itself by an orientation-preserving homeomorphism of the parameter space. If a flow $\{S_t\}$ is isomorphic to a flow obtained by a reparametrization of a flow $\{T_t\}$, then we say that $\{S_t\}$ and $\{T_t\}$ are isomorphic up to a time change. For ergodic flows $\{S_t\}$ and $\{T_t\}$, Kakutani showed that this happens if and only if the two flows have Kakutani equivalent transformations as cross-sections. We prove that the Kakutani equivalence relation on ergodic invertible measure-preserving transformations of a standard non-atomic probability space is not a Borel set. This shows in a precise way that classification of ergodic transformations up to Kakutani equivalence is impossible. In particular, our results imply the non-classifiability of ergodic flows up to isomorphism after a time change. Moreover, we obtain anti-classification results under isomorphism for ergodic invertible transformations of a sigma-finite measure space. We also obtain anti-classification results under Kakutani equivalence for ergodic area-preserving smooth diffeomorphisms of the disk, annulus, and 2-torus, as well as real-analytic diffeomorphisms of the $2$-torus. Our work generalizes the anti-classification results under isomorphism for ergodic transformations obtained by Foreman, Rudolph, and Weiss.

연구 동기 및 목표

• 에르고딕 유동의 카쿠타니 동치가 보렐 방법을 사용하여 분류 가능한지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 등장사상에 대한 반분류 기법을 등장사상에서 카쿠타니 동치로 확장하여, 에르고딕 이론에서 더 약하지만 자연스러운 동치 관계로 확장하기 위해.
• 콤팩트 표면과 2-토러스 위의 스무스 및 해석적 미분구상에 대한 반분류 결과를 확립하기 위해.
• 이러한 설정에서 카쿠타니 동치에 대한 완전한 불변량이 될 수 있는 보렐 함수가 존재하지 않음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 원기지의 비틀림 작용을 가진 컴팩트 표면 위의 에르고딕 $C^\infty$ 미분구상의 공간으로부터 불완전한 트리의 공간으로의 연속적 감소를 구성하기 위해.
• 오도미터 기반 시스템을 원형 시스템으로 매핑하는 함자적 구조를 활용하며, 이는 매개변수화된 구성 방법을 통해 스무스한 미분구상으로 실현된다.
• 매개변수 $l_n$ 의 증가 및 감쇠 속도 조건을 활용하여 원형 시스템과 동형인 $C^\infty$ 미분구상으로의 수렴을 보장하기 위해.
• Foreman와 Weiss(2019)의 $C^\infty$ 미분구상 공간에 관한 결과를 활용하여, 미분구상 공간 위의 위상에서 이웃 영역의 행동을 제어하기 위해.
• 반동기 이sov역 이론을 적용하여 트리의 무한 분지 존재성과 미분구상과 그 역의 카쿠타니 동치 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 실현 사상 $R$ 을 사용하여 기호적 시스템의 카쿠타니 동치 성질을 스무스한 미분구상으로 이전하며, 동치 관계의 구조를 유지하기 위해.

Figure 7.1. Visualization of the substitution step.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르고딕 측도를 보존하는 변환에 대한 카쿠타니 동치 관계는 보렐 집합인가?
• RQ2 등장사상에 사용된 반분류 기법을 카쿠타니 동치로 확장할 수 있는가?
• RQ3 반분류 결과가 스무스 및 해석적 범주에서 유지되는가?
• RQ4 불완전한 트리의 공간에서 에르고딕 $C^\infty$ 미분구상의 공간으로의 연속적 감소가 존재하는가? 이 경우 카쿠타니 동치는 무한 분지의 존재와 대응되는가?
• RQ5 유사한 방법을 2-토러스 위의 해석적 미분구상에 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 에르고딕 측도를 보존하는 변환에 대한 카쿠타니 동치 관계는 보렐 집합이 아니며, 이는 카쿠타니 동치에 대해 분류하는 것이 정확한 의미에서 분류 불가능하다는 것을 증명한다.
• 반분류 결과는 비자명한 원기지 작용을 가진 컴팩트 표면 위의 에르고딕 $C^\infty$ 미분구상으로 확장된다.
• 결과는 2-토러스 위의 해석적 미분구상에 대해서도 성립하여, 해석적 범주에서의 반분류 불가능성을 보여준다.
• 무한 분지가 존재하는 트리가 카쿠타니 동치인 자신의 역과 동치인 미분구상으로 매핑되는 연속적 감소 $F^s$ 가 구성되었다.
• 이 구성은 결과로 얻어진 미분구상이 측도론적으로 원형 시스템과 동형이며, 카쿠타니 동치 성질을 유지함을 보장한다.
• 매개변수화된 실현 사상 $R$ 을 통해 $C^\infty$ 스무스성과 원형 시스템과의 동형성을 보장하며, 수열 $(l_n)$ 의 성장률을 신중히 선택함으로써 수렴이 보장된다.

Figure 9.1. Feldman patterns $F_{n,i}$ of $n$ -blocks in the $P$ -name of $x$ , their corresponding strings $\tilde{F}_{n,i}$ in the $\Phi^{-1}(P^{f})$ -name of $x$ , and the decomposition of the set $\mathbb{Z}$ of indices into $I_{i}=F_{n,l}\cap\tilde{F}_{n,\tilde{l}}$ .