[논문 리뷰] Non-commutative NLS hierarchies: dressing, solutions & time-like boundaries

Anastasia Doikou, Spyridoula Sklaveniti외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 25.

Nonlinear Waves and Solitons인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 행렬 적분 또는 n차 행렬 미분 연산자를 사용하여 행렬 비선형 슈뢰딩거(NLS) 계층에 대한 일반적인 다르부-복장 방법을 개발하며, 행렬 게르파인-레비탄-마르첸코 방정식을 통해 해를 유도하고 라플라스 쌍에 대한 재귀 관계를 규명한다. 주요 기여는 비가환 리카티 방정식의 유도와 그 해를 통해 보존량을 도출하고 에어리(Airy) 및 버거스(Burgers) 방정식과의 연결 고리를 확립하는 것이다.

ABSTRACT

We consider the generalized matrix non-linear Schrodinger (NLS) hierarchy. By employing the universal Darboux-dressing scheme we derive solutions for the hierarchy of integrable PDEs via solutions of the matrix Gelfand-Levitan-Marchenko equation, and we also identify recursion relations that yield the Lax pairs for the whole matrix NLS-type hierarchy. These results are obtained considering either matrix-integral or general $n^{th}$ order matrix-differential operators as Darboux-dressing transformations. In this framework special links with the Airy and Burgers equations are also discussed. The matrix version of the Darboux transform is also examined leading to the non-commutative version of the Riccati equation. The non-commutative Riccati equation is solved and hence suitable conserved quantities are derived. In this context we also discuss the infinite dimensional case of the NLS matrix model as it provides a suitable candidate for a quantum version of the usual NLS model. Similarly, the non-commutitave Riccati equation for the general dressing transform is derived and it is naturally equivalent to the one emerging from the solution of the auxiliary linear problem.

연구 동기 및 목표

• 행렬 적분 또는 행렬 미분 연산자를 사용하여 행렬 비선형 슈뢰딩거(NLS) 계층에 대한 다르부-복장 방법을 일반화한다.
• 전체 행렬 NLS 유형 계층에 대해 라플라스 쌍을 생성하는 재귀 관계를 수립한다.
• 행렬 NLS 계층과 에어리 및 버거스 방정식과 같은 다른 통합 가능 체계 간의 관계를 탐색한다.
• 복장 변환에서 유도된 비가환 리카티 방정식을 유도하고 해를 구함으로써 보존량의 구축을 가능하게 한다.
• 무한차원 행렬 NLS 모형이 고전적 NLS 모형의 양자 버전으로서의 가능성을 탐색한다.

제안 방법

• 행렬 적분 또는 n차 행렬 미분 연산자를 기반으로 하는 일반적인 다르부-복장 체계를 활용한다.
• 행렬 게르파인-레비탄-마르첸코 방정식을 풀어 행렬 NLS 계층의 해를 생성한다.
• 전체 계층에 대해 라플라스 쌍을 체계적으로 생성하는 재귀 관계를 도출한다.
• 행렬 다르부 변환에서 유도된 비가환 리카티 방정식을 설정하고 해를 명시적으로 구한다.
• 복장 변환에서 유도된 비가환 리카티 방정식과 보조 선형 문제에서 유도된 것 간의 동치성을 확립한다.
• 무한차원 행렬 NLS 모형의 경우를 분석하여 고전적 NLS 모형의 양자화 가능성을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 행렬 적분 또는 행렬 미분 연산자를 사용하여 행렬 NLS 계층에 대한 다르부-복장 방법을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 행렬 NLS 유형 계층에서 라플라스 쌍을 지배하는 재귀 관계는 무엇인가?
• RQ3 비가환 리카티 방정식과 그 해는 행렬 NLS 시스템의 보존량과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 행렬 NLS 계층과 에어리 및 버거스 방정식과 같은 다른 통합 가능 체계 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 무한차원 행렬 NLS 모형은 고전적 NLS 모형의 양자 버전으로서 타당한 후보가 될 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 다르부-복장 체계는 행렬 게르파인-레비탄-마르첸코 방정식을 통해 행렬 NLS 계층의 해를 성공적으로 생성한다.
• 전체 행렬 NLS 유형 계층에 대해 라플라스 쌍을 도출하는 재귀 관계가 규명된다.
• 비가환 리카티 방정식이 유도되고 해가 구해져 시스템 내 보존량의 구축이 가능해진다.
• 복장 프레임워크를 통해 행렬 NLS 계층이 에어리 및 버거스 방정식과 자연스럽게 연결됨이 입증된다.
• 무한차원 행렬 NLS 모형은 일관된 비가환 구조를 지니며, 양자 NLS 이론의 후보로 제안된다.
• 복장 변환에서 유도된 비가환 리카티 방정식이 보조 선형 문제에서 유도된 것과 동치임이 증명된다.