[논문 리뷰] Non-Compact WZW Conformal Field Theories

Krzysztof Gawędzki|ArXiv.org|1991. 10. 31.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 23인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 비유계 WZW 양자장 이론, 특히 컴팩트 리 군 $H$ 에 대한 $H^\mathbb{C}/H$ 모델을 다루며, 연속적인 conformal weight와 발산하는 분할 함수를 가진 비유리적 CFT로서의 성격을 탐구한다. 비유계 아벨 부분군의 굳이(예: $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$에서의 부스트)를 통해 유도된 이론은 안정적이고 명시적으로 구성된 conformal sigma 모델을 제공하며, 타겟으로 유럽식 2차원 블랙홀을 가지며, 정규화된 토러스 분할 함수를 계산하고, 이를 유도된 표현과 단위성의 관계로 연결한다. 이는 코셋 구성에 의해 이루어진다.

ABSTRACT

We discuss non-compact WZW sigma models, especially the ones with symmetric space $H^{\bf C}/H$ as the target, for $H$ a compact Lie group. They offer examples of non-rational conformal field theories. We remind their relation to the compact WZW models but stress their distinctive features like the continuous spectrum of conformal weights, diverging partition functions and the presence of two types of operators analogous to the local and non-local insertions recently discussed in the Liouville theory. Gauging non-compact abelian subgroups of $H^{\bf C}$ leads to non-rational coset theories. In particular, gauging one-parameter boosts in the $SL(2,\bC)/SU(2)$ model gives an alternative, explicitly stable construction of a conformal sigma model with the euclidean 2D black hole target. We compute the (regularized) toroidal partition function and discuss the spectrum of the theory. A comparison is made with more standard approach based on the $U(1)$ coset of the $SU(1,1)$ WZW theory where stability is not evident but where unitarity becomes more transparent.

연구 동기 및 목표

• 유럽식 2차원 블랙홀을 타겟으로 하는 안정적이고 명시적으로 구성된 conformal field theory를 개발하여, 난이도 있는 비유계 WZW 모델의 불안정성 문제를 피하기 위해.
• 연속 스펙트럼, 발산하는 분할 함수, 그리고 리iouville 이론에서의 국소적 및 비국소적 삽입과 유사한 두 종류의 연산자로 구성된 비유리적 CFT의 구조를 분석하기 위해.
• 특히 $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$에서의 부스트를 포함한 비유계 아벨 부분군의 게이징을 통해 $H^\mathbb{C}/H$ WZW 모델과 $SU(1,1)$ WZW 코셋 이론 간의 연결 고리를 수립하기 위해.
• 결과적으로 유도된 표현의 특성과 관련하여 $H^\mathbb{C}/H$ 모듈로 $N$ 이론의 정규화된 토러스 분할 함수를 계산하고, 이를 연결하기 위해.
• SU(1,1) WZW 이론의 축성 및 벡터 $U(1)$ 코셋 구성 방식을 비교하여 안정성, 단위성, 그리고 등가성 여부를 평가하기 위해.

제안 방법

• 특히 $H^\mathbb{C}/H$ WZW 이론을 기본 구성 요소로 삼아, 자유 필드 표현을 사용하여 $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 모델을 구성하고 분석한다.
• 비유계 아벨 부분군(예: 한 매개수 부스트)의 게이징을 적용하여, $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 모듈로 $\mathbb{R}$와 같은 새로운 비유리적 코셋 이론을 유도한다.
• 게이지 불변 상태 위에서의 추적을 통해 정규화된 토러스 분할 함수를 계산하며, $U(1)$ 전하 부문과 워핑 모드에 대한 명시적 의존성을 포함한다.
• 유니타리성과 안정성을 확보하기 위해, 유도된 표현 $\hat{\cal D}$ 에 대한 에르미트 구조를 활용하며, 수반 관계 $J^{a}_{n}{}^{*} = -J^{a}_{-n}$ 과 $J^{3}_{n}{}^{*} = J^{3}_{-n}$ 를 사용한다.
• SU(1,1) WZW 이론의 축성 및 벡터 $U(1)$ 코셋 구성 방식을 비교하여 스펙트럼, 계량 특이성, 함수적 적분의 안정성에 대해 분석한다.
• $U(1)$ 전하 $l\kappa$ 를 사용하여 분할 함수의 워핑 부문을 표기하며, 비영 전하 기여는 폴리아코프 선 삽입을 통해 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 WZW 모델에서 $H^\mathbb{C}/H$ 타겟을 갖는 이론이 에너지가 유계인 안정적이고 단위적인 CFT로 일관적으로 양자화될 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 비유계 아벨 부분군의 게이징이, 특히 유크란식 2차원 블랙홀에 대해 안정적인 conformal sigma 모델을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $H^\mathbb{C}/H$ WZW 모델과 그들의 코셋 축소 이론의 분할 함수는 어떻게 유도된 표현의 특성과 상태 스펙트럼과 관련이 있는가?
• RQ4 SU(1,1) WZW 이론에서 축성 및 벡터 $U(1)$ 코셋 구성 간의 관계는 무엇이며, 안정성 특성의 차이가 있음에도 불구하고 동일한 CFT를 유도하는가?
• RQ5 $H^\mathbb{C}/H$ 모델의 연산자 구성과 conformal weight는 유리적 CFT와 비교해 어떤가? 특히 연속 스펙트럼과 비국소적 삽입의 측면에서.

주요 결과

• $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 모델에서 한 매개수 부스트를 게이징하면, 에너지가 무한해지는 문제를 해결한 명시적으로 안정된 conformal sigma 모델이 유도되며, 타겟으로 유크란식 2차원 블랙홀을 갖는다.
• $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 모듈로 $\mathbb{R}$ 이론의 정규화된 토러스 분할 함수가 계산되었으며, 게이지 불변 상태 위에서의 추적으로 표현 가능하며, $U(1)$ 전하 부문과 워핑 모드에 의존함을 보였다.
• $H^\mathbb{C}/H$ WZW 모델는 에르미트 구조를 통해 conformal block을 짝지어, 컴팩트한 $H$ WZW 모델과 이중성 관계를 맺으며, 3차원 초전도체 이론으로의 해석이 가능하다.
• SU(1,1) WZW 이론의 축성 $U(1)$ 코셋은 안정적이고 단위적이며, 분할 함수는 유도된 표현 $\hat{\cal D}$ 를 통해 계산되었지만, 벡터 코셋은 불안정성과 특이한 계량을 겪는다.
• 분할 함수의 워핑 부문은 $U(1)$ 전하 $l\kappa$ 로 표기되며, 폴리아코프 선 삽입을 통해 기여가 계산되며, 자유 필드 표현에서 $m_l + m_r = l\kappa$ 를 만족하는 상태에 해당한다.
• 축성 및 벡터 $U(1)$ 코셋 간의 이중성은 해결되지 않았으며, 벡터 이론은 안정적인 함수적 적분이 없지만, 둘 다 상호로 국소적인 연산자 스펙트럼을 공유할 수 있다.