[논문 리뷰] Non-conforming harmonic virtual element method: $h$- and $p$-versions

Lorenzo Mascotto, Ilaria Perugia외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 02.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 40인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다각형 메esh에서 2차원 딜레르트-라플라스 문제를 위한 비일치 조화 가상요소법(VEM)을 제안한다. 조화 기저 함수를 활용하여 표준 VEM보다 빠른 수렴 속도를 달성한다. 이는 파편적 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서의 $h$-버전 및 $p$-버전 오차 한계를 준최적으로 확립하고, $hp$-버전에서 지수적 수렴을 보여주며, 자유도 수의 제곱근 비례로 수렴 속도가 일치하는 수치적 검증을 통해 확인된다.

ABSTRACT

We study the $h$- and $p$-versions of non-conforming harmonic virtual element methods (VEM) for the approximation of the Dirichlet-Laplace problem on a 2D polygonal domain, providing quasi-optimal error bounds. Harmonic VEM do not make use of internal degrees of freedom. This leads to a faster convergence, in terms of the number of degrees of freedom, as compared to standard VEM. Importantly, the technical tools used in our $p$-analysis can be employed as well in the analysis of more general non-conforming finite element methods and VEM. The theoretical results are validated in a series of numerical experiments. The $hp$-version of the method is numerically tested, demonstrating exponential convergence with rate given by the square root of the number of degrees of freedom.

연구 동기 및 목표

• 내부 자유도를 제거함으로써 표준 VEM보다 수렴 속도를 향상시킬 수 있는 비일치 조화 가상요소법을 개발한다.
• 해법의 $h$- 및 $p$-버전을 분석하여, 파편적 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 준최적 오차 한계를 제공한다.
• 해법의 $hp$-버전에서 지수적 수렴을 보여주며, 표준 FEM 및 VEM보다 더 빠른 감쇠를 보인다.
• 비조화 경우에 적용 가능한 일반적인 $p$-분석 프레임워크를 제공하여, 조화 VEM에서 개발된 도구를 비조화 경우로 확장한다.

제안 방법

• 해당 방법은 국소적으로 라플라스 방정식을 만족하는 조화 함수를 사용하여 국소 가상요소 공간을 구성하며, 기저 함수의 명시적 계산을 피한다.
• 자유도는 요소의 변에 대한 해와 그 기울기의 모멘트를 통해 정의되며, 다항식 공간으로의 투사 연산자를 계산할 수 있다.
• 투사 연산자 $\Pi^\nabla_K$ 는 그람 행렬 $\boldsymbol{G}$ 와 질량 행렬 $\boldsymbol{B}$ 를 포함한 행렬 표현을 통해 다항식 공간으로의 사영을 수행한다.
• 이중형식은 행렬 $\boldsymbol{\Pi}_*^T \widetilde{\boldsymbol{G}} \boldsymbol{\Pi}_* + (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{\Pi})^T \boldsymbol{S} (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{\Pi})$ 를 사용하여 조립되며, $\boldsymbol{S}$ 는 변의 적분 기반 안정화 행렬이다.
• 레전드르 다항식의 직교성에 의해 안정화 행렬 $\boldsymbol{S}$ 가 대각화되어 고차 정확도를 위한 행렬 조립을 단순화한다.
• 디리클레 경계 조건은 $\mathbb{P}_{p-1}$-일치하는 경계 조건을 사용하여 변에서 모멘트 조건을 통해 약하게 강제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 자유도를 제거함으로써 비일치 조화 VEM이 표준 VEM보다 더 빠른 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 비일치 조화 VEM의 $h$- 및 $p$-버전에 대해, 파편적 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 준최적 오차 한계는 무엇인가?
• RQ3 $hp$-버전에서 지수적 수렴이 나타나는가? 그리고 이 수렴 속도는 자유도 수에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 조화 VEM에서 개발된 $p$-분석 도구는 비조화 경우의 비일치 FEM 및 VEM로 확장 가능한가?

주요 결과

• 해법은 파편적 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 준최적의 $h$-버전 오차 한계를 달성하며, 메쉬 크기와 다항식 차수에 따라 수렴 속도가 달라진다.
• $p$-버전은 지수적 수렴을 보이며, 오차가 자유도 수의 제곱근에 비례하여 감쇠된다.
• 수치 실험은 이론적 $hp$-수렴 속도를 확인하였으며, 이론적 예측과 일치하는 지수적 감쇠를 보였다.
• 레전드르 다항식의 직교성 덕분에 안정화 행렬 $\boldsymbol{S}$ 가 대각화되어 고차 구현이 단순화된다.
• $p$-분석 프레임워크는 비조화 비일치 VEM에까지 확장 가능하여, 향후 논문 [7] 의 비조화 경우 분석에 활용 가능하다.
• 특히 $hp$-영역에서 고차 근사에서 표준 FEM 및 VEM보다 수렴 속도가 더 빠르게 성능을 발휘한다.