[논문 리뷰] Non cyclic functions in the Hardy space of the bidisc with arbitrary decrease

Xavier Massaneda, Pascal J. Thomas|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 11.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 3인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 이중판의 하르디 공간에 속하는 함수를 구성하여 경계에 가까이 갈수록 임의로 느리게 감소하도록 한다—구체적으로 주어진 가중치 함수 v에 대해 log|f(z)| ≥ −v(δ(z))를 만족하지만, 순환적이지 않다. z₁z₂를 통해 구성한 특이 내부 함수를 이용하여, H²(D²)에서 순환성을 보장하는 데 충분한 |f|의 감소 조건이 존재하지 않음을 보여주며, 베르그만 공간의 경우와는 뚜렷이 대조된다.

ABSTRACT

We construct an example to show that no condition of slow decrease of the modulus of a function is sufficient to make it cyclic in the Hardy space of the bidisc. This is similar to what is well known in the case of the Hardy space of the disc, but in contrast to the case of the Bergman space of the disc.

연구 동기 및 목표

• . H²(D²)에서 |f|의 어떤 느린 감소 조건도 순환성을 보장하지 못함을 보이다.
• . 디스크의 하르디 공간에서 모듈러스 기반 순환성 기준의 실패가 이중판의 하르디 공간으로 확장됨을 보이다.
• . 주어진 가중치 함수 v에 대해 log|f(z)| ≥ −v(δ(z))를 만족하면서도 비순환적인 f ∈ H²(D²)를 구성하다.
• . 디스크의 베르그만 공간에서의 순환성 충분조건이 이중판의 하르디 공간으로 확장되지 않음을 보이다.

제안 방법

• . δ(z) = max(1−|z₁|, 1−|z₂|)로 정의하여 특수 경계까지의 거리를 측정하다.
• . μᵥ가 μᵥ(I) ≤ c₀|I|v(|I|)를 만족하는 조건을 갖는 μᵥ에 대해 f₀(ζ) = exp(−∫(e^{iθ}+ζ)/(e^{iθ}−ζ) dμᵥ(θ))로 특이 내부 함수를 구성하다.
• . f(z₁,z₂) = f₀(z₁z₂)로 두어, 1−|z₁z₂| ≤ 1−|z₁| + 1−|z₂|의 부등식을 통해 log|f(z)| ≥ −v(δ(z))를 도출하다.
• . f₀가 H²(D)에서 순환적이지 않으며, 유계성과 ℓ² 계수 합산 가능성으로 인해 f ∈ H²(D²)임을 이용하다.
• . (θ₁=θ, θ₂=θ+α)의 변수 치환을 적용하여 순환성 문제를 원판 위의 한 변수 문제로 환원하다.
• . 순환성 가정으로부터 모순을 이끌어내기 위해: Pₙ → 1 in L²(𝕋²)이면, qₖ(ζ) := Pₙₖ(ζ, e^{iα}ζ)가 ‖qₖgₐ − 1‖_{H²(D)} → 0를 만족하게 되며, 이는 gₐ가 특이 내부 함수이므로 모순이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . H²(D²)에서 |f(z)|의 어떤 느린 감소 조건도 순환성을 보장할 수 있는가?
• RQ2 . 디스크의 베르그만 공간에서의 순환성 충분조건이 이중판의 하르디 공간으로 확장되는가?
• RQ3 . log|f(z)| ≥ −v(δ(z))를 만족하면서도 여전히 비순환적인 H²(D²)의 함수가 존재하는가?
• RQ4 . 대각선 제약 조건을 이용하여 이러한 함수의 순환성을 배제할 수 있는가?
• RQ5 . H²(D²)에서 모듈러스 기반 기준의 실패는 일변수 경우와 유사한가?

주요 결과

• . v(t²) ≤ Cv(t)를 만족하고 ∫₀¹ v(t)²/(t(ln t)²) dt < ∞를 만족하는 모든 가중치 함수 v에 대해, log|f(z)| ≥ −v(δ(z))를 만족하면서도 비순환적인 f ∈ H²(D²)가 존재한다.
• . f(z₁,z₂) = f₀(z₁z₂)로 구성된 함수는 H²(D²)에 속하며, 1−|z₁z₂|의 가역성 덕분에 요구 조건을 만족한다.
• . f₀(ζ)는 log|f₀(z)| ≥ −v(1−|z|)를 만족하는 특이 내부 함수이므로 H²(D)에서 비순환적이다.
• . 만약 f가 H²(D²)에서 순환적이라면, 대각선 제약은 f₀가 H²(D)에서 순환적임을 뜻하게 되며, 이는 참이 아니다.
• . 모순은 순환성 가정이 f₀(e^{iα}ζ²)와 조합된 다항식의 수열이 H²(D)에서 1로 수렴하게 하여 특이 내부 함수의 비순환성과 모순됨을 유도함으로써 발생한다.
• . 결과적으로, H²(D²)에서 모듈러스 감소 조건만으로는 순환성을 보장할 수 없으며, 이는 베르그만 공간의 경우와는 대조된다.