[논문 리뷰] Non-degeneracy conditions for braided finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 24인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 브레드 유한 텐서 범주에서의 비퇴화성에 대한 등가 조건을 확립한다. 비퇴화성은 공끝 $\mathbb{F}$ 위의 호프 쌍대의 비퇴화성으로 정의되며, 이는 에팅호프-니크시치-오스트리크의 의미에서의 인수성, 호프 맵을 통한 약한 인수성, 그리고 뮜거 중심의 자명성과 동치임을 증명한다. 또한 이러한 범주에서 호프 대상에 대한 예터-드린펠트 모듈의 범주가 비퇴화적이면, 그 기저 범주도 비퇴화적이며, 드린펠트 듀얼에서 유래되지 않는 새로운 인수성 호프 대상의 구성도 제시한다.

ABSTRACT

For a braided finite tensor category $\mathcal{C}$ with unit object $1 \in \mathcal{C}$, Lyubashenko considered a certain Hopf algebra $\mathbb{F} \in \mathcal{C}$ endowed with a Hopf pairing $ω: \mathbb{F} \otimes \mathbb{F} o 1$ to define the notion of a `non-semisimple' modular tensor category. We say that $\mathcal{C}$ is non-degenerate if the Hopf pairing $ω$ is non-degenerate. In this paper, we show that $\mathcal{C}$ is non-degenerate if and only if it is factorizable in the sense of Etingof, Nikshych and Ostrik, if and only if its Müger center is trivial, if and only if the linear map $Ω: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(1, \mathbb{F}) o \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, 1)$ induced by the pairing $ω$ is invertible. As an application, we prove that the category of Yetter-Drinfeld modules over a Hopf algebra in $\mathcal{C}$ is non-degenerate if and only if $\mathcal{C}$ is.

연구 동기 및 목표

• 비세미단순 브레드 유한 텐서 범주에서 비퇴화성의 검증이 어려운 데서 기인하는 문제를 해결하기 위해, 공끝과 그 호프 쌍대의 계산이 어려운 상황에서의 비퇴화성 검증을 용이하게 하기 위해.
• 비세미단순 환경으로까지 일반화된 모듈라 텐서 범주의 세미단순 특성화를 확장하기 위해.
• 비퇴화성에 대한 더 검증이 용이한 등가 조건을 확립하기 위해.
• 비퇴화 범주에 속한 호프 대상에 대한 예터-드린펠트 모듈의 범주가 비퇴화적이며, 그 역도 성립함을 증명하기 위해.
• 드린펠트 듀얼에서 유래되지 않는 새로운 인수성 호프 대상의 구성 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 브레드 유한 텐서 범주 $\mathcal{C}$에서 공끝 $\mathbb{F} = \int^{X \in \mathcal{C}} X \otimes X^*$를 정의하며, 이는 자연스러운 호프 대상의 구조를 지닌다.
• 범주 $\mathcal{C}$의 브레딩을 사용하여 호프 쌍대 $\omega_{\mathcal{C}}: \mathbb{F} \otimes \mathbb{F} \to \mathbf{1}$를 구성하고, 이 쌍대의 비퇴화성을 비퇴화성으로 정의한다.
• $\omega_{\mathcal{C}}$에 의해 유도되는 맵 $\Omega_{\mathcal{C}}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1}, \mathbb{F}) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, \mathbf{1})$를 도입하고, $\Omega_{\mathcal{C}}$의 가역성을 약한 인수성으로 정의한다.
• 에팅호프-니크시치-오스트리크의 함자 $G: \mathcal{C} \boxtimes \mathcal{C} \to \mathcal{Z}(\mathcal{C})$를 사용하여, $G$의 본질적 전성과 완전 충실성으로서 인수성을 정의한다.
• 모든 $Y \in \mathcal{C}$에 대해 $\sigma_{Y,X} \circ \sigma_{X,Y} = \mathrm{id}_{X \otimes Y}$ 를 만족하는 객체 $X$의 전체 부분범주로 뮜거 중심 $\mathcal{C}'$를 정의하고, $\mathcal{C}'$가 $\mathbf{1}$의 유한 직합의 범주와 동치일 때 자명성을 정의한다.
• 호프 모나드와 프로베니우스-페르로우 차원의 성질을 활용한 범주론적 추론을 통해, 네 조건—비퇴화성, 인수성, 약한 인수성, 자명한 뮜거 중심—이 서로 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브레드 유한 텐서 범주에서 비퇴화성에 대한 등가 조건은 무엇이며, 공끝 쌍대보다 더 계산이 용이한가?
• RQ2 비퇴화성은 에팅호프-니크시치-오스트리크의 의미에서의 범주의 인수성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 범주가 비퇴화적일 때 뮜거 중심이 자명한가, 그 역도 성립하는가?
• RQ4 브레드 유한 텐서 범주 $\mathcal{C}$가 비퇴화적이라면, $\mathcal{C}$에 속한 호프 대상에 대한 예터-드린펠트 모듈의 범주는 비퇴화적인가?
• RQ5 이 틀을 통해 드린펠트 듀얼에서 유래되지 않는 새로운 인수성 호프 대상을 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 브레드 유한 텐서 범주 $\mathcal{C}$의 비퇴화성—공끝 $\mathbb{F}$ 위의 호프 쌍대 $\omega_{\mathcal{C}}$의 비퇴화성으로 정의됨—은 에팅호프, 니크시치, 오스트리크의 의미에서의 인수성과 동치이다.
• $\mathcal{C}$의 비퇴화성은 $\omega_{\mathcal{C}}$에 의해 유도되는 맵 $\Omega_{\mathcal{C}}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1}, \mathbb{F}) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, \mathbf{1})$의 가역성과 동치이며, 이는 세미단순 경우의 $S$-행렬의 가역성의 일반화이다.
• 뮤거 중심 $\mathcal{C}'$가 자명한 것은 $\mathcal{C}$가 비퇴화적일 때이고, 그 역도 성립하므로, 이는 비퇴화성의 범주론적 특성화를 제공한다.
• 호프 대상 $B$에 대한 예터-드린펠트 모듈의 범주 $\mathcal{YD}(\mathcal{C})^{B}_{B}$는 $\mathcal{C}$가 비퇴화적일 때이고, 그 역도 성립한다.
• 이 결과는 드린펠트 듀얼과 동형이 되지 않는 새로운 인수성 호프 대상의 구성 방법을 제공한다. 예를 들어, 소형 양자군 $u_q(\mathfrak{g})$는 이러한 방법으로 유도될 수 있다.
• 인수성 $H$에 대한 $\operatorname{Rep}(H)$ 내의 호프 대상에 대한 듀얼 보소니제이션의 구성은, $\dim U = \dim B^* \otimes \dim H \otimes \dim B$ 인 인수성 호프 대상 $U$를 생성하며, 이는 제곱수가 아닐 수 있으므로 드린펠트 듀얼에서 유래되지 않는다.