[논문 리뷰] Non density of stability for holomorphic mappings on P^k

Romain Dujardin|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 06.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 $k \geq 2$ 및 $d \geq 2$ 일 때, $\mathbb{P}^k$ 상의 정칙 사상 공간에서 $J^*$-안정성이 조밀하지 않음을 입증한다. 이를 위해 위상적 및 분수기하적 메커니즘을 사용하여 $J^*$ 내의 후행 임계 집합과 하이퍼볼릭 반발자 사이의 지속적인 교차를 이용한 분기 영역 내 열린 집합을 구성한다. 이 결과는 1차원에서의 Mafin{\'e}-Sad-Sullivan-Lyubich 조밀성 정리의 고차원 해석을 반증한다.

ABSTRACT

A well-known theorem due to Mañé-Sad-Sullivan and Lyubich asserts that J-stable maps are dense in any holomorphic family of rational maps in dimension 1. In this paper we show that the corresponding result fails in higher dimension. More precisely, we construct open subsets in the bifurcation locus in the space of holomorphic mappings of degree d of P^k (C) for every d $\ge$ 2 and k $\ge$ 2.

연구 동기 및 목표

• 고차원에서 $\mathbb{P}^k$ 상의 정칙 가중치 가중 사상에서 $J^*$-안정성이 조밀한지 여부를 조사하며, 1차원에서의 Mafin{\'e}-Sad-Sullivan-Lyubich 정리의 일반화를 시도한다.
• 고차원 복소 동역학에서 지속적인 분기—분기 영역 내 열린 집합—가 발생할 수 있는지 여부를 규명한다.
• 위상적 및 분수기하적 메커니즘을 활용하여 지속적인 분기를 갖는 정칙 사상의 구체적 예를 구성한다.
• 이러한 분기의 퍼짐 정도와 반발성 주기 궤도에서의 다항식 계수 교차와의 관계를 탐구한다.

제안 방법

• 제품 사상 $(p(z), w^d)$의 소규모 변형을 구성하여, 위상적 장애를 통해 $J^*$ 내의 동적적으로 정의된 다양체가 후행 임계 집합과 반드시 교차하도록 보장한다.
• 호모로지적 추론을 적용하여, 위상적 제약 조건으로 인해 $J^*$ 내의 특정 동적 다양체가 후행 임계 집합과 반드시 교차해야 한다는 점을 보여준다.
• Bonatti-Diaz 이론에 영감을 얻어 '지름 있는' 칸토어 집합(블렌더)을 사용하여, 소규모 변형 하에서도 임계 집합과의 횡방향 교차를 보장한다.
• 반복에 따른 임계 집합의 기하학적 성질과 그 이미지를 분석하여, 변형이 하이퍼볼릭 반발자와의 교차를 유지함을 확인한다.
• $\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 가 $\mathbb{P}^N$ 상의 자리지 열린 부분집합임을 활용하여 사상의 매개변수화와 분기 영역 분석을 수행한다.
• $k=2$ 에서의 결과를 고차원으로 확장하기 위해, 섬유화된 구조를 분석하고 고차원 제품 공간 내에서 반복되는 임계 집합을 올리기 위한 방법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원에서 $k \geq 2$ 일 때, $\mathbb{P}^k$ 상의 정칙 가중 사상에서 $J^*$-안정성이 $\mathbb{P}^1$ 에서와 같이 조밀한가?
• RQ2 $k \geq 2$ 및 $d \geq 2$ 일 때, 유한한 임계 집합이 없는 상황에서도 $\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 내에서 분기의 열린 집합이 존재할 수 있는가?
• RQ3 후행 임계 집합과 $J^*$ 내 하이퍼볼릭 반발자 사이의 지속적인 교차가 발생하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 지속적인 교차 성질을 갖는 블렌더(횡방향 교차 성질이 있는 지름 있는 칸토어 집합)는 정칙 동역학에서 체계적으로 구성될 수 있는가?
• RQ5 $\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 내에서 분기 영역이 그 내부의 폐포인가, 아니면 여전히 안정성이 조밀한 영역이 존재하는가?

주요 결과

• $k \geq 2$ 및 $d \geq 2$ 일 때, $\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 내 분기 영역은 공집합이 아닌 내부를 갖는다. 이는 1차원 조밀성 정리의 고차원 해석을 반증한다.
• 위상적 메커니즘을 통해, 호모로지적 제약 조건으로 인해 $J^*$ 내 동적 다양체가 반드시 후행 임계 집합과 교차해야 하므로, 분기의 열린 집합을 구성한다.
• 고정점의 약한 반발성 조건($1 < |p'(z_0)| < 1.01$)을 갖는 $p$ 와 큰 $\kappa$ 를 갖는 $(p(z), w^d + \kappa)$ 형식의 사상에서, $J^*$ 내 후행 임계 집합과 하이퍼볼릭 반발자 사이의 지속적 교차를 확립한다.
• 지름 있는 칸토어 집합을 통한 '복소 블렌더'의 구성은 소규모 변형 하에서도 임계 집합과의 강건한 횡방향 교차를 보장하여, 분기가 열린 근처에서 지속됨을 보장한다.
• $k=2$ 에서의 결과는 고차원으로 확장되며, 임계 집합을 섬유화된 제품 구조에서 반복적으로 올리고 그 이미지를 분석함으로써 이루어진다.
• 추측에 따르면, 제품 사상 및 Lattfls 사상의 경우 분기의 폐포 내에서 분기가 조밀하게 퍼져 있을 것이며, 이는 강건한 분기의 广범한 존재를 시사한다.