[논문 리뷰] Non-divergence Parabolic Equations of Second Order with Critical Drift in Lebesgue Spaces

Gong Chen|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 레바그 공간에서 임계 드리프트를 갖는 두 번째 차수 비발산형 포아송 방정식에 대해, 포물선적 스케일 불변 조건 하에 내부 하르낙 부등식을 수립한다. 이는 이전 결과를 확장하여, 드리프트의 최소 적분 조건 하에서 호일러 연속성과 관련 타원형 연산자에 대한 보편 스펙트럼 간격을 증명함으로써, 성장 정리와 알렉산드로프-바켈레프-푸시 타입 추정을 사용한다.

ABSTRACT

We consider uniformly parabolic equations and inequalities of second order in the non-divergence form with drift \[-u_{t}+Lu=-u_{t}+\sum_{ij}a_{ij}D_{ij}u+\sum b_{i}D_{i}u=0\,(\geq0,\,\leq0)\] in some domain $Q\subset \mathbb{R}^{n+1}$. We prove growth theorems and the interior Harnack inequality as the main results. In this paper, we will only assume the drift $b$ is in certain Lebesgue spaces which are critical under the parabolic scaling but not necessarily to be bounded. In the last section, some applications of the interior Harnack inequality are presented. In particular, we show there is a "universal" spectral gap for the associated elliptic operator. The counterpart for uniformly elliptic equations of second order in non-divergence form is shown in \cite{S10}.

연구 동기 및 목표

• 포물선적 스케일 불변 조건 하에서, 레바그 공간에서 임계 드리프트를 갖는 비발산형 포물선 방정식에 대해 내부 하르낙 부등식을 수립한다.
• 기존의 유계 또는 준임계 드리프트를 넘어서, $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ 인 임계 케이스로 두 번째 차수 포물선 방정식 이론을 확장한다.
• 임계 스케일 하에서 드리프트 $ b \in L^p_x L^q_t $ 에 대한 최소 적분 조건 하에서 해의 호일러 연속성을 증명한다.
• 관련 타원형 연산자에 대해 보편 스펙트럼 간격의 존재를 보이며, 타원형 케이스의 결과를 일반화한다.
• 드리프트 $ b \in L^n $ 인 비발산 타원형 방정식에 대해 사포노프의 이전 결과에 대응하는 포물선형 대응을 제공한다.

제안 방법

• 랜디스와 페레티-사포노프의 성장 정리를 사용하여, 해가 양수 또는 음수인 집합의 측도를 제어한다.
• 포물선적 스케일 불변 프레임워크를 적용하며, $ \|b\|_{L^p_x L^q_t} < \infty $ 라고 가정하여, 포물선적 스케일 불변 조건 하에서 임계성을 확보한다.
• 수정된 알렉산드로프-바켈레프-푸시-크릴로프-츠로 추정을 사용하여, 하향 해의 Supremum 을 오른쪽 항의 $ L^n_x L^\infty_t $ 노름과 드리프트에 대해 유계로 제한한다.
• 시간 간격을 $ u_t $ 의 부호에 따라 분해하고, 적분 항등식을 사용하여 해의 시간에 따른 행동을 제어한다.
• 카우치-슈바르츠 및 허더 불등식을 사용하며, 특별히 선택된 시험 함수 $ g(\xi,h) = (|\xi|^n + \mu^n)^{-1} $ 와 함께, 초수준 집합의 측도에 대한 하한을 유도한다.
• Sup u 를 포함하는 로그 추정을 유도하며, 이를 지수화하여 드리프트 및 자료 노름에 대한 최종 $ L^\infty $ 유계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포물선적 스케일 불변 조건 하에서, 드리프트 $ b $ 가 임계 레바그 공간에 속할 경우 비발산형 포물선 방정식에 대해 내부 하르낙 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 임계 드리프트 조건 하에서 해에 대해 보장할 수 있는 정규성 성질(예: 호일러 연속성)은 무엇인가?
• RQ3 임계 드리프트 영역에서 관련 타원형 연산자에 대해 보편 스펙트럼 간격이 존재하는가?
• RQ4 성장 정리와 푸시 타입 추정은 측정 가능 계수와 임계 드리프트를 갖는 비발산형 형태로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 포물선적 스케일 불변은 드리프트의 $ L^p_x L^q_t $ 노름의 임계성을 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 내부 하르낙 부등식이 성립한다: $ \sup_{Q^0} u \leq N \inf_{Q_r} u $, 여기서 $ N = N(n, \nu, p, q, S) $, $ S = \|b\|_{L^p_x L^q_t} $, 임계 스케일 조건 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ 하에서 성립한다.
• 해는 하르낙 부등식과 드리프트 노름의 임계성에 따라 내부에서 호일러 연속성임을 보인다.
• 관련 타원형 연산자에 대해 보편 스펙트럼 간격이 존재한다. 즉, 첫 번째 고유값은 특정 계수에 관계없이 0으로부터 멀리 떨어져 있다. 동일한 임계 드리프트 조건 하에서 성립한다.
• 알렉산드로프-바켈레프-푸시-크릴로프-츠 추정은 임계 드리프트를 갖는 포물선 설정으로 확장되며, $ \sup_Q u \leq N r \|f\|_{L^n_x L^\infty_t} $ 를 유도한다. 여기서 $ N $ 은 $ n, \nu, \|b\|_{L^n_x L^\infty_t} $ 에 의존한다.
• 증명은 시간 간격의 새로운 적분 분해와 정교하게 선택된 시험 함수를 사용하여 초수준 집합의 측도에 대한 로그 하한을 도출하는 데 의존한다.
• 임계 케이스 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ 는 날카로운 경계임을 보였다. $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} > 1 $ 이면 불연속 해가 존재할 수 있고, $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} < 1 $ 이면 해는 매끄럽다.