[논문 리뷰] Non-elementary proper forcing notions

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|1997. 12. 15.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 10인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 $({\rm H}(\theta),\ni)$의 원소가 아닐 수 있는 가산 모델에 적용 가능한 일반화된 적절한 강제법, 즉 비원소적 적절성(nep)과 수르신 비원소적 적절성(snep)을 도입한다. 비원소적 적절한 강제법이 가산 지지 반복에 대해 보존됨을 증명하고, 만약 그러한 강제법이 c.c.c. 이상에 대해 집합의 양성(positivity)을 유지한다면, 모든 양성 보렐 집합의 양성도 유지한다는 이분법(dichotomy)을 증명한다.

ABSTRACT

We present reasons for developing a theory of forcing notions which satisfy the properness demand for countable models which are not necessarily elementary submodels of some (H(chi), in). This leads to forcing notions which are ``reasonably'' definable. We present two specific properties materializing this intuition: nep (non-elementary properness) and snep (Souslin non-elementary properness). For this we consider candidates (countable models to which the definition applies), and the older Souslin proper. A major theme here is ``preservation by iteration'', but we also show a dichotomy: if such forcing notions preserve the positiveness of the set of old reals for some naturally define c.c.c. ideals, then they preserve the positiveness of any old positive set. We also prove that (among such forcing notions) the only one commuting with Cohen is Cohen itself.

연구 동기 및 목표

• $({\rm H}(\theta),\ni)$의 원소가 아닐 수 있는 가산 모델에 대해 원소적 부분모델이 아닌 경우에도 확장된 적절성 이론을 개발하여 더 정의 가능하고 다룰 수 있는 강제법을 가능하게 한다.
• 비원소적 적절성(nep)과 수르신 비원소적 적절성(snep)이라는 두 가지 새로운 성질을 도입하고 분석하여 적절성의 자연스러운 일반화로 삼는다.
• nep 강제법이 가산 지지 반복에 대해 보존됨을 증명하여 주요 성질이 반복 과정 동안 유지됨을 확보한다.
• 이분법을 증명한다: 만약 nep 강제법이 c.c.c. 이상에 대해 집합의 양성을 유지한다면, $^\omega\omega$ 내의 모든 양성 보렐 집합의 양성도 유지된다.
• c.c.c. nep 강제법 중에서 코헨 강제법과 교환 가능성이 있는 강제법은 무엇이며, 이를 nep 프레임워크 내에서 특성화할 수 있는가를 조사한다.

제안 방법

• $N[G]$ 대신 $N\langle G\rangle$를 사용하여 비원소적 모델을 다루기 위해, $\operatorname{pd}(N,{\bf Q})$에서의 이상의 조밀성에 기반해 $q$가 $(N,{\bf Q})$-유사근본적임을 정의한다.
• 모델 간의 성질 보존을 보장하기 위해 $K$-절대적 nep의 개념을 도입한다.
• 가산 지지 반복에서 $p \in \operatorname{Lim}(\bar{\mathbb{Q}})$에 대해 $p^{\langle\langle N\rangle\rangle}$의 개념을 사용하여 nep 성질을 유지한다.
• nep 강제법 하에서 무엇이 보존되는지를 분석하기 위해 닫힘 연산 $({\rm cl}_1, {\rm cl}_2)$를 정의한다.
• c.c.c. 이상에 대한 프레임워크를 적용하여, 한 개의 양성 집합의 양성을 유지하면 모든 양성 보렐 집합의 양성도 유지됨을 증명한다.
• 모델 이론적 기법을 사용하여 유사실수와 그에 의해 생성된 부분강제법을 분석하고, 특히 수르신 및 c.c.c. 성질의 맥락에서 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 c.c.c. 이상에 대해 집합의 양성을 유지하는 nep 강제법은 $^\omega\omega$ 내의 모든 양성 보렐 집합의 양성도 유지하는가?
• RQ2 어떤 강제법이 코헨 강제법과 교환 가능하며, 이를 nep 프레임워크 내에서 특성화할 수 있는가?
• RQ3 특히 $\theta = \kappa = \aleph_0$인 경우, snep 강제법의 범주가 nep 강제법의 범주보다 엄밀히 큰가?
• RQ4 만약 수르신 c.c.c. 강제법이 새로운 실수를 추가한다면, 관련 보렐 대수도 수르신 c.c.c. 성질을 갖는가?
• RQ5 Baumgartner의 공리에서처럼 $\lambda$-완비 강제법으로의 nep 강제법 이론을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• nep 강제법은 가산 지지 반복에 대해 보존되며, 주요 성질은 $p^{\langle\langle N\rangle\rangle}$의 구성에 의해 유지된다.
• 이분법이 성립한다: 만약 nep 강제법이 c.c.c. 이상에 대해 집합의 양성을 유지한다면, $^\omega\omega$ 내의 모든 양성 보렐 집합의 양성도 유지된다. 이는 문헌에 알려진 결과를 일반화한다.
• c.c.c. nep 강제법 중에서 코헨 강제법과 교환 가능한 유일한 강제법은 코헨 강제법 자체이다.
• 수르신 c.c.c. 강제법이 새로운 실수를 추가하지만 $\sigma$-중심 바운딩 실수를 추가하지 않는다면, 새로운 실수는 $\sigma$-중심 부분강제법을 생성한다.
• $\theta = \kappa = \aleph_0$인 경우 snep 강제법의 범주가 nep 강제법의 범주보다 엄밀히 크며, 이는 문제 13.14를 긍정적으로 해결한다.
• $K$-절대적 nep 이론은 nep의 핵심 성질이 다양한 모델 간에 보존됨을 보장하여, 이론의 강건성과 정의 가능성의 향상을 이룬다.