[논문 리뷰] Non-enlargeable operators and self-cancelling operators

B. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 07.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 24인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 이전 연구에서 제거된 반사적 바나흐 공간과 내부가 비어 있지 않은 정의역 조건을 제거하고, 비확대 가능한 최대 단조 연산자—즉, ε-확대가 자체와 일치하는 연산자—를 조사한다. 최대 상호상소 연산자가 비확대 가능하다는 것을 입증하고, 반사적이지 않은 설정에서도 ε-확대가 원래 연산자로 축소되는 조건을 제공한다.

ABSTRACT

The epsilon-enlargement of a maximal monotone operator is a construct similar to the Brøndsted and Rocakfellar epsilon-subdifferential enlargement of the subdifferential. Like the epsilon-subdifferential, the epsilon-enlargement of a maximal monotone operator has practical and theoretical applications. In a recent paper in Journal of Convex Analysis Burachik and Iusem studied conditions under which a maximal monotone operator is non-enlargeable, that is, its epsilon-enlargement coincides with the operator. Burachik and Iusem studied these non-enlargeable operators in reflexive Banach spaces, assuming the interior of the domain of the operator to be nonempty. In the present work, we remove the assumption on the domain of non-enlargeable operators and also present partial results for the non-reflexive case.

연구 동기 및 목표

• 정의역의 내부가 비어 있지 않다는 가정 없이 비확대 가능한 최대 단조 연산자를 특성화하는 것.
• 이전의 결과를 반사적 바나흐 공간에서 일반 바나흐 공간으로 확장하는 것.
• 최대 상호상소 연산자와 비확대 가능성 사이의 관계를 조사하는 것.
• ε-확대가 연산자 자체와 일치하는 조건을 설정하는 것.
• 비확대 가능한 연산자를 특성화하는 데 있어 피츠제이크 함수와 유사한 쌍대 구조의 역할을 탐구하는 것.

제안 방법

• 최대 단조 연산자 T의 ε-확대를 (x,x*) ∈ T^ε iff ⟨x−y,x*−y*⟩ ≥ −ε for all (y,y*) ∈ T 로 정의한다.
• A ⊂ A^† 이고 A^† 가 단조일 때, A 를 상호상소 연산자로 정의하며, A^† 는 쌍대 곱을 통해 정의된다.
• 집합의 쌍대를 정의하기 위해 유사 쌍대 구조 A^† = {(x,x*) | ⟨x,y*⟩ + ⟨y,x*⟩ ≤ 0 for all (y,y*) ∈ A} 를 적용한다.
• 단조성과 비확대 가능성의 특성화를 위해 피츠제이크 함수 φ_T(x,x*) = sup_{(y,y*)∈T} ⟨x,y*⟩ + ⟨y,x*⟩ − ⟨y,y*⟩ 을 사용한다.
• A 가 최대 상호상소이면 A^† 또는 −A^† 가 최대 단조임을, 내적의 부호 조건에 대한 모순을 통해 증명한다.
• 정의역과 상의 닫힘성 분석과 약한* 위상의 사용을 통해 반사적이지 않은 설정으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 단조 연산자가 비확대 가능해지는 조건은 무엇인가? 즉, 모든 ε ≥ 0 에 대해 T^ε = T 인가?
• RQ2 정의역의 내부가 비어 있지 않다는 가정 없이도 연산자의 비확대 가능성을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 최대 상호상소 연산자와 비확대 가능한 연산자 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비반사적 바나흐 공간에서 ε-확대의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 자기상쇄 성질을 가진 A 에 대해, 유사 쌍대 연산자 A^† 가 최대 단조가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 최대 상호상소 연산자는 비확대 가능하며, 이는 ε-확대가 자체와 일치함을 의미한다.
• A 가 최대 상호상소이고 D(A) 가 닫혀 있으면, A 는 비대칭이므로 A = −A^† 이고, 따라서 비확대 가능하다.
• 반사적 바나흐 공간에서 A 가 최대 상호상소이고 R(A) 가 닫혀 있으면, A 는 비대칭이며 따라서 비확대 가능하다.
• ε-확대 T^ε 는 정의역 내부에서 하우스도르프 거리에 대해 비어 있지 않고 국소 리프시츠 연속적이다.
• A 가 자기상쇄이면 A^† 는 항상 단조이며, A 가 최대일 경우 A^† 또는 −A^† 는 최대 단조이다.
• 비확대 가능한 연산자 연구에서 정의역의 내부가 비어 있지 않다는 조건이 필요 없음을 제거하여 일반 바나흐 공간으로 결과를 확장한다.