[논문 리뷰] Non-Equilibrium Green Functions in Electronic Device Modeling

Roger K. Lake, Rajeev R. Pandey|arXiv (Cornell University)|2006. 07. 09.

Quantum and electron transport phenomena참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 나노스케일 전자 소자를 위한 양자 전자 이동도를 모델링하기 위한 비평형 그린 함수(NEGF) 기법에 대한 종합적인 가이드 및 유도를 제공한다. 특히 비직교 원자 궤도 기저에서의 체계적 접근에 중점을 두고 있으며, 후행 및 미만 그린 함수, 표준 전류 및 밀도 표현식을 유도하고, 핵심 근사치—특히 단위기저 변화와 유니타리 시간 진화의 일치성, 전류 표현식의 입자 수 보존과의 일致성—을 규명하여 분자 전자공학 및 나노소자 분야에서의 NEGF 구현에 엄밀한 기초를 제공한다.

ABSTRACT

We present an overview of electronic device modeling using non-equilibrium Green function techniques. The basic approach developed in the early 1970s has become increasingly popular during the last 10 years. The rise in popularity was driven first by the experimental investigations of mesoscopic physics made possible by high quality semiconductor heterostructures grown by molecular beam epitaxy. The theory has continuously been adapted to address current systems of interest moving from the mesoscopic physics of the late 1980s to single electronics to molecular electronics to nanoscaled FETs. We give an overview of the varied applications. We provide a tutorial level derivation of the polar optical phonon self-energy [1]. Then, focusing on issues of a non-orthogonal basis used in molecular electronics calculations, we derive and the basic Green function expressions starting from their definitions in second quantized form in a non-orthogonal basis. We derive the equations of motion for the retarded Green function G^R and the correlation function G^

연구 동기 및 목표

• 비직교 기저 세트에서의 NEGF 체계적 유도를 교육 수준의 목적으로 제공함. 이는 분자 전자공학 및 아비시노 타 계산에서 일반적으로 사용되는 기저이다.
• 비직교 기저에서의 후행 그린 함수 $G^R$ 및 미만 그린 함수 $G^<$의 표준 표현식을 두 번째 양자화로부터 명확히 유도하고 설명함.
• 표준 전류 표현식이 입자 수 보존과 일치하는지, 특히 협동한계와 주기적 시스템에서 어떻게 일치하는지 확인함.
• NEGF에서의 두 가지 근본적인 근사를 규명하고 분석함: 기저에 의존하는 자기에너지가 유니타리 시간 진화와 일치하는지, 그리고 연속성 방정식에서 전류를 유도하는지.
• 부분 기저에서의 전류 표현식과 전자 밀도에 관해 문헌에서 애매하게 여겨지는 점들을 해결하여 장치 시뮬레이션에서 물리적 일致성을 확보함.

제안 방법

• 비직교 기저에서의 두 번째 양자화 해밀토니안으로부터 헤이젠베르크 운동 방정식을 사용하여 $G^R$ 및 $G^<$의 운동 방정식을 유도함.
• 비직교성의 영향을 반영하기 위해 효과적 해밀토니안 $\tilde{\mathbf{t}} = \mathbf{t} - E\mathbf{S}$ 를 도입함.
• 장치 영역의 총 전자 수에 대한 연속성 방정식에서 표준 전류 표현식(식 127–136)을 유도함. 국소 공간 평균화로부터가 아니라 전역적인 연속성 원리에서 유도됨.
• 표준 전류 표현식이 주기적 시스템에서 유니타리 전송 확률을 제공함을 입증하여 그 사용의 물리적 타당성을 확인함.
• 접속 리드의 자기에너지 $\Sigma^{<B}$ 를 분석하여, 그 표준 형태(식 117–118)가 $G^R$ 과 일치하고 정확한 운반 특성을 유도함을 보임.
• 부분 기저에서 실공간 전류 연산자의 직접 평가가 입자 수 보존을 위반하는 반면, 표준 NEGF 접근법은 이를 유지함을 시현함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비직교 기저에서 표준 NEGF 전류 및 전자 밀도 표현식은 어떻게 엄밀하게 유도될 수 있으며, 그 뒤에 은폐된 가정은 무엇인가?
• RQ2 표준 NEGF 이론의 전류 표현식이 왜 입자 수 보존과 일치하는가? 그리고 연속성 방정식과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 비직교 기저를 사용할 경우 자기에너지 및 그린 함수 체계에 어떤 영향을 미치며, 특히 유니타리 시간 진화와의 관계에서 어떻게 고려되어야 하는가?
• RQ4 왜 부분 기저에서 실공간 전류 연산자를 직접 평가하면 물리적으로 비합리한 결과가 나오는가? 그리고 NEGF 체계는 이를 어떻게 피하는가?
• RQ5 NEGF에서 일반적으로 문헌에서 간과되는 핵심 근사는 무엇인가? 특히 $G^<$ 와 $G^R$ 의 일치성과 해밀토니안의 기저 의존성과 관련하여.

주요 결과

• 표준 전류 표현식은 장치 영역에 대한 전역 연속성 방정식에서 유도되었으며, 주기적 시스템에서 유니타리 전송 확률을 제공함으로써 그 물리적 타당성이 확인됨.
• 후행 그린 함수 $G^R$ 은 비직교 기저에서도 헤이젠베르크 운동 방정식과 행렬 대수를 사용하여 엄밀하게 유도될 수 있으며, 전체 NEGF 체계를 전제로 하지 않아도 됨.
• 미만 그린 함수 $G^<$ 와 그에 상응하는 자기에너지 $\Sigma^{<B}$ 는 $G^R$ 의 형태에 의해 제약을 받으며, 표준 형태의 $\Sigma^{<B}$ (식 117–118) 는 이러한 제약 조건 하에서 물리적으로 타당함을 입증함.
• 부분 비직교 기저에서 실공간 전류 연산자의 직접 평가는 입자 수 보존을 위반하여 정성적으로 잘못된 결과를 초래함.
• 완전한 기저에서는 표준 NEGF 전류 표현식과 실공간 전류 연산자의 직접 평가가 동일한 결과를 제공함을 보여, 완전 기저 근사에서의 일致성을 확인함.
• 핵심 근사는 점진적 변형 이론과 유니타리 시간 진화가 기저 상태와 힐베르트 공간 변화와 일치하는지 여부이며, 이는 여전히 NEGF 체계에서 미해결 문제로 남아 있음.