[논문 리뷰] Non Equilibrium Green's Functions for Dummies: Introduction to the One Particle NEGF equations

Magnus Paulsson|arXiv (Cornell University)|2002. 10. 23.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 2인용 수 37

한 줄 요약

이 튜토리얼 논문은 편압 조건 하에서 나노스케일 도체에서 전류 및 전하 밀도를 계산하기 위한 일체의 비평형 그린 함수(NEGF) 방정식을 명확하고 직관적으로 유도한다. 접합에서 기인하는 자기에너지가 장치의 그린 함수를 어떻게 수정하는지 설명하며, 이는 후퇴 그린 함수와 수준 넓이 연산자를 통해 라운더 공식으로 이어진다.

ABSTRACT

Non equilibrium Green's function methods are regularly used to calculate current and charge densities in nanoscale (both molecular and semiconductor) conductors under bias. This method is mainly used for ballistic conduction but may be extended to include inelastic scattering. In this tutorial paper the NEGF equations for the current and charge density matrix are derived and explained in a hopefully clear way.

연구 동기 및 목표

• 분자 및 반도체 나노전자 분야의 연구자들에게 비평형 그린 함수(NEGF)에 대한 접근하기 쉬우며 직관적인 소개를 제공하는 것.
• 형식적 수식보다 물리적 통찰을 중시하여 전류 및 전하 밀도 행렬에 대한 NEGF 방정식을 단계별로 유도하는 것.
• 후퇴 그린 함수와 접합에서 기인하는 자기에너지들을 사용하여 전체 다체 문제를 풀지 않고도 운반 특성을 계산할 수 있음을 보여주는 것.
• NEGF 체계와 표준 운반 이론 간의 다리를 놓기 위해 형식론을 라운더 공식과 연결하는 것.

제안 방법

• 접합(1,2), 장치(d), 그리고 결합 항목(τ₁, τ₂)으로 구성된 삼부분 해밀토니안을 가진 이산 슈뢰딩거 방정식을 사용한다.
• 전체 그린 함수 G를 (E - H)G = I를 통해 정의하고, 장치 그린 함수에 대한 다이슨 방정식을 유도한다: G_d = (E - H_d - Σ₁ - Σ₂)^{-1}.
• 자기에너지 Σ_j = τ_j^† g_j τ_j 를 도입하여, g_j 는 고립된 접합의 그린 함수이며, 이는 장치에 미치는 접합 효과를 반영한다.
• 밀도 행렬의 시간 진화를 이용하여 확률 전류를 유도하며, 연속 방정식과 연산자 항등식을 사용한다.
• 접합 j 로부터 장치로의 전류를 i_j = -ie/ℏ (⟨ψ_j|τ_j|ψ_d⟩ - ⟨ψ_d|τ_j^†|ψ_j⟩) 로 표현하고, 이는 라운더 공식으로 이어진다.
• 에너지 및 페르미 분포 f(E, μ)에 대해 통합하여 총 전류를 도출한다: I = (e/πℏ)∫dE (f(μ₁) - f(μ₂)) Tr(G_d^† Γ₂ G_d Γ₁).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나노스케일 시스템에서 일체의 운반에 대해 비평형 그린 함수 체계를 어떻게 직관적으로 유도하고 해석할 수 있는가?
• RQ2 후퇴 그린 함수와 자기에너지가 양자 장치의 접합 효과를 모델링하는 데 물리적으로 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 나노스케일 도체를 통과하는 전류는 그린 함수와 결합 행렬에서 어떻게 유도되는가?
• RQ4 후퇴 그린 함수와 수준 넓이 연산자를 사용하여 NEGF 프레임워크에서 라운더 공식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 다단자 시스템에서 확률 전류와 그린 함수의 행렬 원소 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 장치 그린 함수는 다이슨 방정식을 통해 구해지며, G_d = (E - H_d - Σ₁ - Σ₂)^{-1} 이다. 여기서 자기에너지 Σ_j = τ_j^† g_j τ_j 는 접합 효과를 포함한다.
• 접합 j 로부터 장치로의 전류는 i_j = (e/ℏ)⟨ψ_j|τ_j G_d^† Γ_j G_d τ_j^† |ψ_j⟩ 로 주어지며, 여기서 Γ_j = i( g_j - g_j^† ) 는 수준 넓이를 나타낸다.
• 총 전류는 I = (e/πℏ)∫dE (f(μ₁) - f(μ₂)) Tr(G_d^† Γ₂ G_d Γ₁) 로 도출되며, 이는 표준 라운더 공식과 일치한다.
• 후퇴 그린 함수를 사용함으로써 전체 다체 고유값 문제를 풀지 않고도 전류 및 전하 밀도를 계산할 수 있다.
• 유도 과정은 전류가 들어오는 파동과 나가는 파동 간의 간섭으로부터 기인하며, 그린 함수는 산란 및 투과 특성을 포함한다.
• 후퇴 그린 함수의 사용은 인과성을 보장하며, 도파이어의 파동이 나가는 방향으로 표현되며, 물리적 운반 계산에 필수적이다.