[논문 리뷰] Non-Euclidean Contraction Theory via Semi-Inner Products.

A. S. Davydov, Saber Jafarpour외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 23.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 48인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℓ₁ 및 ℓ∞와 같은 비유클리드 노름으로의 확장을 위해 약한 준내적곱(WSIPs)을 도입하여 수축 이론을 확장한다. 이는 수축을 위한 다섯 가지 동치 특성화를 제공하며, 일방적 리프시츠 조건과 일반화된 Demidovich 기준을 포함한다. 이 이론은 수축 시스템에 대한 증분 안정성과 입력-상태 성질을 확립하여 상호연결된 시스템의 계층적 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we study necessary and sufficient conditions for contraction and incremental stability of dynamical systems with respect to non-Euclidean norms. First, generalizing Lumer semi-inner products, we introduce weak semi-inner products (WSIPs), and characterize their properties. We introduce and study the sign and max WSIPs for the $\ell_{1}$ and $\ell_{\infty}$ norms, respectively. Using WSIPs, we then establish five equivalent characterizations for contraction, including one-sided Lipschitz continuity of the vector field as well as matrix measure and generalized Demidovich conditions for the corresponding Jacobian. Third, we extend our contraction framework in two directions: we prove equivalences for contraction of continuous vector fields and we formalize the weaker notion of equilibrium contraction, which ensures exponential convergence to a given equilibrium. Finally, as an application of the general theory, we provide (i) incremental input-to-state stability and finite input-state gain properties for contracting systems, and (ii) a hierarchical analysis approach to establish contraction properties for interconnected systems.

연구 동기 및 목표

• 비유클리드 노름, 예를 들어 ℓ₁ 및 ℓ∞와 같은 노름에 적용 가능한 수축 이론 프레임워크를 개발하는 것.
• 약한 준내적곱(WSIPs)을 도입하여 루머 준내적곱을 일반화하고, 잘 정의된 성질을 갖는다.
• 일방적 리프시츠 연속성 및 자코비안에 기반한 행렬 측도 기반 기준을 포함하여, 수축에 대한 동치 조건을 확립하는 것.
• 균형점 수축을 공식화하여 주어진 균형점으로의 지수 수렴을 보장하고, 연속 벡터장으로의 결과를 확장하는 것.
• 이 프레임워크를 사용하여 수축 시스템에 대한 증분 입력-상태 안정성과 유한한 입력-상태 이득을 증명하고, 상호연결된 시스템의 계층적 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 비유클리드 노름에 맞게 조정된 약한 준내적곱(WSIPs)을 도입하여 루머 준내적곱의 일반화로 사용한다.
• ℓ₁ 및 ℓ∞ 노름에 각각 특화된 부호 및 최대 WSIPs를 정의하고 분석하여, 비미분 가능 설정에서의 방향 도함수를 포착한다.
• 일방적 리프시츠 조건과 자코비안 행렬에 대한 일반화된 Demidovich 조건을 포함하여, 수축의 다섯 가지 동치 특성화를 유도한다.
• 새로운 WSIP 프레임워크 하에서 수축과 균형점으로의 지수 수렴 간의 동치성을 확립한다.
• 이론을 연속 벡터장으로 확장하고, 균형점 수축을 더 약한, 그러나 충분한 안정성 조건으로 정의한다.
• 이 프레임워크를 사용하여 수축 시스템에 대한 증분 입력-상태 안정성과 유한한 입력-상태 이득을 증명하고, 상호연결된 시스템을 위한 계층적 분석 방법을 개발한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℓ₁ 및 ℓ∞와 같은 비유클리드 노름 하에서 동적 시스템의 수축을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유럽 기하학을 초월하여 수축 분석을 가능하게 하기 위해 준내적곱을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 비유클리드 노름 하에서 벡터장 성질과 자코비안 조건에 기반한 수축의 동치 특성화는 무엇인가?
• RQ4 균형점 수축을 공식적으로 정의하고 특성화하여 특정 균형점으로의 지수 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ5 이 이론은 어떻게 상호연결된 시스템으로 확장되어 입력-상태 안정성과 유한한 이득을 확보하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 약한 준내적곱(WSIPs)의 도입은 ℓ₁ 및 ℓ∞와 같은 비유클리드 노름에 대해 엄밀한 수축 분석을 가능하게 한다.
• 일방적 리프시츠 연속성의 벡터장 및 자코비안에 대한 일반화된 Demidovich 조건을 포함하여 다섯 가지 동치 조건이 확립된다.
• 균형점 수축은 주어진 균형점으로의 지수 수렴을 보장하는 더 약한, 그러나 충분한 조건으로 공식화되어 수축 이론의 적용 범위를 넓힌다.
• 이 프레임워크는 비유클리드 노름 하에서 수축 시스템에 대한 증분 입력-상태 안정성과 유한한 입력-상태 이득을 증명한다.
• 제안된 WSIP 기반 기준을 사용하여 상호연결된 시스템에서의 수축을 검증할 수 있는 계층적 분석 방법이 개발된다.
• 이론은 연속 벡터장으로 확장되어 부드러운 시스템에 국한되지 않는 적용 가능성을 넓힌다.