[논문 리뷰] Non-Extendability of Holomorphic Functions with Bounded or Continuously Extendable Derivatives

Dionysios Moschonas, Vassili Nestoridis|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 4인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 복소평면의 도메인의 폐포 위에서 특정 차수까지의 도함수가 유계이거나 연속적으로 연장 가능한 헬름홀로픽 함수의 확장 불가능성에 대해 연구한다. 이는 이러한 공간 내에서 확장 불가능한 함수들의 집합이 공집합이거나 조밀하고 $G_\delta$임을 증명함으로써, 자연스러운 도함수 제약 조건 하에서 확장 불가능한 헬름홀로픽 함수의 위상적 일반성 결과를 확립한다.

ABSTRACT

We consider the spaces $H_{F}^{\infty}(\Omega)$ and $\mathcal{A}_{F}(\Omega)$ containing all holomorphic functions $f$ on an open set $\Omega \subseteq \mathbb{C}$, such that all derivatives $f^{(l)}$, $l\in F \subseteq \mathbb{N}_0=\{ 0,1,...\}$, are bounded on $\Omega$, or continuously extendable on $\overline{\Omega}$, respectively. We endow these spaces with their natural topologies and they become Fr\'echet spaces. We prove that the set $S$ of non-extendable functions in each of these spaces is either void, or dense and $G_\delta$. We give examples where $S=\varnothing$ or not. Furthermore, we examine cases where $F$ can be replaced by $\widetilde{F}=\{ l\in \mathbb{N}_0:\min F \leqslant l \leqslant \sup F\}$, or $\widetilde{F}_0= \{l\in \mathbb{N}_0:0\leqslant l \leqslant \sup F\}$ and the corresponding spaces stay unchanged.

연구 동기 및 목표

• 유계이거나 연속적으로 연장 가능한 도함수로 정의된 공간에서 확장 불가능한 헬름홀로픽 함수들의 집합의 위상적 구조를 분석하는 것.
• 이러한 함수 공간에서 확장 불가능한 함수들의 집합이 조밀하거나 공집합이 되는 조건을 규명하는 것.
• 주어진 인덱스 집합 $F$ 를 $\widetilde{F}$ 또는 $\widetilde{F}_0$ 로 대체할 때 함수 공간이 유지되는지 조사하는 것.
• 함수 공간 $H_F^\infty(\Omega)$ 또는 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 가 이러한 인덱스 집합 수정에 의해 그대로 유지되는 조건을 특성화하는 것.

제안 방법

• 도메인 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ 에서 정의된 헬름홀로픽 함수 공간 $H_F^\infty(\Omega)$ 와 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 를 정의하며, 여기서 $f^{(l)}$ 이 $l \in F \subseteq \mathbb{N}_0$ 에 대해 유계이거나 연속적으로 연장 가능하다고 가정한다.
• 이 공간들에 컴acts부분집합에서 도함수의 Suprema를 측정하는 반준위상들에 의해 유도되는 자연스러운 프레셰 위상 구조를 부여한다.
• 베어 카테고리 이론을 적용하여, 확장 불가능한 함수들의 집합 $S$ 가 이러한 공간에서 공집합이거나 조밀하고 $G_\delta$임을 보인다.
• 공집합인 경우와 비공집합인 경우를 보여주는 구체적인 예를 제시하여 위상 결과의 정확성을 입증한다.
• 인덱스 집합 $F$ 를 $\widetilde{F} = \{l \in \mathbb{N}_0 : \min F \leq l \leq \sup F\}$ 또는 $\widetilde{F}_0 = \{l \in \mathbb{N}_0 : 0 \leq l \leq \sup F\}$ 로 대체했을 때 함수 공간에 미치는 영향을 분석한다.
• 일부 조건 하에서 $F$ 를 $\widetilde{F}$ 나 $\widetilde{F}_0$ 로 대체하더라도 $H_F^\infty(\Omega)$ 와 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 가 그대로 유지됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 공간 $H_F^\infty(\Omega)$ 또는 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 에서 확장 불가능한 헬름홀로픽 함수들의 집합이 비어 있지 않은가?
• RQ2 이러한 공간에서 확장 불가능한 함수들의 집합은 항상 프레셰 위상에서 조밀하고 $G_\delta$인가?
• RQ3 함수 공간을 변경하지 않고 인덱스 집합 $F$ 를 $\widetilde{F}$ 나 $\widetilde{F}_0$ 로 대체할 수 있는가?
• RQ4 함수 공간 $H_F^\infty(\Omega)$ 또는 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 가 이러한 인덱스 집합의 대체에 의해 그대로 유지되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ5 확장 불가능한 함수들의 공간의 위상적 성질은 도함수 인덱스 집합 $F$ 의 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 함수 공간 $H_F^\infty(\Omega)$ 또는 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 에서 확장 불가능한 함수들의 집합 $S$ 는 프레셰 위상에서 공집합이거나 조밀하고 $G_\delta$이다.
• 모든 함수가 $\Omega$ 를 초월해 연장 가능한 경우가 존재하는 도메인 $\Omega$ 와 인덱스 집합 $F$ 가 존재한다. 즉, $S = \varnothing$ 가 성립할 수 있다.
• 또한 $S \ne \varnothing$ 가 되는 도메인과 인덱스 집합의 조합도 존재하여, 이는 이러한 경우에 확장 불가능한 함수들이 위상적으로 일반적임을 보여준다.
• 조건이 충족될 경우, $\widetilde{F} = \{l \in \mathbb{N}_0 : \min F \leq l \leq \sup F\}$ 로 $F$ 를 대체하는 것은 $H_F^\infty(\Omega)$ 또는 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 공간을 유지한다.
• $\widetilde{F}_0 = \{l \in \mathbb{N}_0 : 0 \leq l \leq \sup F\}$ 로 대체하는 것은 공간을 유지할 수 있지만, 이는 $F$ 의 하한이 0이거나, 공간이 0차 도함수에서 $\sup F$ 까지의 도함수로 정의된 경우에 한해 성립한다.
• 특정한 $F$ 의 구조에 관계없이, 자연스러운 프레셰 위상이 부여된 공간에서는 위상적 일반성 결과가 항상 성립한다.