[논문 리뷰] Non-faithful representations of surface groups into SL(2,C) which kill no simple closed curve

Daryl Cooper, Jason Fox Manning|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 표면 군의 SL(2,ℂ)로의 비충실 표현을 구성하여, 어떤 본질적인 단순 폐곡선도 영이 되지 않게 하며, PSL(2,ℂ)를 목표로 하는 단순 곡선 추측의 한 형태에 대한 반례를 제공한다. 특성 다양체에서의 차원 이론을 사용하여, 종수 ≥4인 표면에 대해 이러한 표현이 비가чёт수로 존재함을 보이고, 믹스키의 추측을 뒤집으며, 이미지에 비자명한 유한 순서 원소가 없을 때조차도 핵에 포함된 곡선이 단순 곡선일 필요가 없음을 보여준다.

ABSTRACT

We give counterexamples to a version of the simple loop conjecture in which the target group is PSL(2,C). These examples answer a question of Minsky in the negative.

연구 동기 및 목표

• 표면 군에서 PSL(2,ℂ)로의 비단사 준동형사상이 항상 어떤 본질적인 단순 폐곡선을 영으로 보낸다는 주장하는 믹스키의 추측을 반증하기.
• 표면 군의 SL(2,ℂ)로의 비충실 표현을 명시적으로 구성하여, 어떤 본질적인 단순 폐곡선도 ±I 또는 유한 순서 원소로 사라지지 않게 하기.
• 특성 다양체에서 차원 이론적 추론을 통해 이러한 표현의 동치류가 비가산 수로 존재함을 보여주기.
• 분리 곡선 Z에서의 추측이 2인 특성의 집합이 기하학적 구조를 갖는 데 기여하는 바를 보여주기 위해, Z의 기하학적 구조를 연구하기.

제안 방법

• SL(2,ℂ)로의 표현의 특성 다양체 X(π₁Σ)를 분석하고, 분리 곡선 C에서의 추측이 2인 특성의 부분집합 Z에 집중한다.
• 어떤 본질적인 단순 폐곡선을 영으로 보내는 특성의 집합 Y와, 타원적 원소를 포함하는 특성의 집합 E를 정의하여, 이러한 집합들을 피하는 표현을 분리한다.
• 종수 ≥4일 때, 복소수 차원에서 Y와 실수 차원에서 E가 각각 Z보다 낮은 차원을 가짐을 차원 계산을 통해 보인다.
• 대수기하학 도구를 적용: Z의 기하학적 구조가 연결된 매끄러운 부분집합을 가짐을 이용하고, 복소수 대수적 집합이 기하학적으로 기하학적 구조를 갖는 것은 그 매끄러운 부분집합이 연결되어 있고, 밀도가 있으며, 열려 있음을 이용한다.
• 프로젝티브 다양체에서의 전통적인 위상수학 결과(비자명한 대수적 부분집합의 여집합이 연결됨)를 적용하여, Z ∖ (Y ∪ E)가 비어 있지 않음을 보인다.
• Z ∖ (Y ∪ E)에 속하는 특성들은 비단사 표현을 유도하며, 이 경우 어떤 본질적인 단순 폐곡선도 ±I 또는 유한 순서 원소로 사라지지 않음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 군에서 PSL(2,ℂ)로의 비단사 준동형사상은 반드시 어떤 본질적인 단순 폐곡선을 영으로 보내야 하는가?
• RQ2 표면 군의 SL(2,ℂ)로의 비충실 표현을 구성할 수 있는가? 이 경우 어떤 본질적인 단순 폐곡선도 ±I 또는 유한 순서 원소로 사라지지 않게 하기.
• RQ3 어떤 단순 곡선도 영이 되지 않는 표현의 특성 다양체의 차원은 얼마이며, 전체 특성 다양체와 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ4 분리 곡선에서 추측이 2인 특성의 집합은 기하학적 구조로 기하학적으로 기하학적 구조를 갖는가?
• RQ5 이러한 표현은 이미지에 비자명한 타원적 원소가 없도록 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 종수 4 이상인 표면에 대해, θ: π₁Σ → SL(2,ℂ)인 비단사 준동형사상이 존재하며, θ(α) = ±I일 때는 α가 본질적인 단순 폐곡선으로 표현될 수 없을 때에만 성립한다.
• 어떤 본질적인 단순 폐곡선을 영으로 보내는 특성의 집합 Y는 복소수 차원에서 dimℂ Z − 1 이하이므로, Z의 하위집합으로서 낮은 차원을 가진다.
• 이미지에 타원적 원소를 포함하는 특성의 집합 E는 종수 ≥4일 때 실수 차원에서 dimℝ Z − 1 이하이므로, 특성 다양체에서 이러한 표현은 희귀하다는 것을 보여준다.
• 분리 곡선에서 추측이 2인 특성 다양체의 부분집합 Z는 기하학적으로 기하학적 구조를 갖는다. 그 이유는 매끄러운 부분집합이 연결되어 있고, 밀도가 있으며, 열려 있기 때문이다.
• 비가산 수의 동치류를 갖는 이러한 표현이 존재함을 특성 다양체에서의 차원 이론적 추론을 통해 보였다.
• 이러한 구성은 믹스키의 PSL(2,ℂ)에 대한 단순 곡선 추측에 대한 부정적인 답변을 제공하며, 이 추측이 이 설정으로는 확장되지 않음을 보여준다.