[논문 리뷰] Non-Gaussian quasi-likelihood estimation of SDE driven by locally stable Lévy process

H. Masuda|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 안정적인 Lévy 과정에 의해 구동되는 단변량 확률미분방정식(SDE)의 매개수 계수에 대한 비정규 가짜우도 추정기법을 제안한다. 이는 전이 밀도의 소규모 시간 안정 근사에 기반하며, 고주기 샘플링 하에서 점근적 혼합정규성을 확보한다. 이로 인해 기존의 정규 가짜최대우도추정기법보다 우수한 성능을 보이며, 이는 비정규 설정에서 일관성이 없기 때문이다.

ABSTRACT

We address estimation of parametric coefficients of a pure-jump Lévy driven univariate stochastic differential equation (SDE) model, which is observed at high frequency over a fixed time period. It is known from the previous study Masuda (2013) that adopting the conventional Gaussian quasi-maximum likelihood estimator then leads to an inconsistent estimator. In this paper, under the assumption that the driving Lévy process is locally stable, we extend the Gaussian framework into a non-Gaussian counterpart, by introducing a novel quasi-likelihood function formally based on the small-time stable approximation of the unknown transition density. The resulting estimator turns out to be asymptotically mixed normally distributed without ergodicity and finite moments for a wide range of the driving pure-jump Lévy process, showing much better theoretical performance compared with the Gaussian quasi-maximum likelihood estimator. Extensive simulations are carried out to show good estimation accuracy. The case of large-time asymptotics under ergodicity is briefly mentioned as well, where we can deduce an analogous asymptotic normality result.

연구 동기 및 목표

• 순수 점프 Lévy 과정에 의해 구동되는 SDE의 고주기 샘플링에서 정규 가짜최대우도추정기법의 일관성 부족 문제를 해결하기 위해.
• 국소적으로 안정적인 Lévy 노이즈로 인한 소규모 시간 비정규성에 대응하는 비정규 가짜우도 프레임워크를 개발하기 위해.
• 고주기 샘플링 하에서 고정된 시간 구간(T 고정)에 대해 제안된 추정기의 점근적 혼합정규성을 확립하기 위해.
• ergodicity 하에서의 장기적 점근적 성질로 이론적 프레임워크를 확장하여 표준 점근적 정규성을 도출하기 위해.
• 정규 가짜우도 방법과 비교하여 광범위한 시뮬레이션을 통해 더 높은 추정 정확도를 입증하기 위해.

제안 방법

• SDE의 알려지지 않은 전이 밀도의 소규모 시간 안정 근사를 기반으로 한 새로운 가짜우도 함수를 도입하기 위해.
• 구동 Lévy 과정이 알려진 β ∈ [1, 2)를 가지며 국소적으로 대칭적인 β-안정적임을 가정하여 소규모 시간 비정규 행동을 보장하기 위해.
• 안정 근사에서 유도된 비정규 가짜우도 함수를 최대화하여 최대 가짜우도추정기(MLE)를 구성하기 위해.
• 고주기 샘플링(h → 0, T 고정) 하에서 추정기의 점근적 혼합정규성을 입증하기 위해.
• 의존적인 배열에 대한 마틴게일 중심극한정리와 균일한 대수법칙을 사용하여 점근적 분포 결과를 도출하기 위해.
• ergodicity 하에서의 장기적 점근적 성질로 결과를 확장하여, 혼합정규성이 없이 표준 점근적 정규성이 성립함을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 시간 비정규성에 의해 영향을 받는 국소적으로 안정적인 Lévy 노이즈를 갖는 고주기 SDE에서, 비정규 가짜우도 접근법이 정규 가짜최대우도추정기법의 일관성 부족 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 안정성 지수 β는 제안된 프레임워크에서 추세 매개수 추정기의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 고정된 시간 구간에서 고주기 샘플링 하에서 제안된 추정기의 점근적 분포 행동은 어떠한가?
• RQ4 과정이 ergodic일 경우, 장기적 점근적 성질 하에서 제안된 방법이 일관성과 점근적 정규성을 유지하는가?
• RQ5 유한 표본 시뮬레이션에서 비정규 가짜우도 추정기의 성능은 정규 대응 방법보다 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 비정규 가짜우도 추정기는 고주기 샘플링 하에서 고정된 T에 대해 점근적으로 혼합정규분포를 따르며, 이는 일관성이 없는 정규 가짜최대우도추정기와는 다릅니다.
• 추세 매개수 α의 수렴 속도는 √n h^{1−1/β}이며, 이는 안정성 지수 β에 명시적으로 의존하여 점프 활동의 영향을 반영합니다.
• 스케일 매개수 γ는 β에 독립적으로 표준 √n 속도로 추정되며, 이는 서로 다른 매개수에 대해 다른 수렴 행동을 나타냅니다.
• 추정기의 점근적 분산-공분산 행렬은 안정 밀도와 그 도함수의 적분을 포함하는 β에 의존하는 성분들로 특징지워집니다.
• ergodicity 및 장기적 점근적 성질 하에서 추정기는 표준 점근적 정규성을 달성하며, 수렴 속도와 극한 분포는 고주기 경우와 유사합니다.
• 시뮬레이션 결과는 제안된 방법이 정규 가짜우도 접근보다 유의미하게 더 높은 추정 정확도를 확보함을 확인합니다. 특히 비정규 설정에서 두드러진 성능 향상을 보입니다.