[논문 리뷰] Non-Gaussian Quasi Maximum Likelihood Estimation of GARCH Models

Qi, Lei, Xiu, Dacheng외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 21.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비정규성과 무거운 尾를 가진 오차 분포 하에서도 일致적이고 점근적으로 정규분포를 따르는 추정을 달성하는 GARCH 모형을 위한 이중단계 비정규성 최대우도추정법(2SNG-QMLE)을 제안한다. 일관성에 핵심적인 역할을 하는 알려지지 않은 척도 파라미터를 식별하고 추정함으로써, 대칭성이나 단두성 가정 없이도 기존의 정규분포 QMLE보다 효율성을 향상시킨다.

ABSTRACT

The non-Gaussian quasi maximum likelihood estimator is frequently used in GARCH models with intension to improve the efficiency of the GARCH parameters. However, unless the quasi-likelihood happens to be the true one, non-Gaussian QMLE methods suffers inconsistency even if shape parameters in the quasi-likelihood are estimated. To correct this bias, we identify an unknown scale parameter that is critical to the consistent estimation of non-Gaussian QMLE, and propose a two-step non-Gaussian QMLE (2SNG-QMLE) for estimation of the scale parameter and GARCH parameters. This novel approach is consistent and asymptotically normal. Moreover, it has higher efficiency than the Gaussian QMLE, particularly when the innovation error has heavy tails. Two extensions are proposed to further improve the efficiency of 2SNG-QMLE. The impact of relative heaviness of tails of the innovation and quasi-likelihood distributions on the asymptotic efficiency has been thoroughly investigated. Monte Carlo simulations and an empirical study confirm the advantages of the proposed approach.

연구 동기 및 목표

• 진정한 오차 분포가 비정규일 때 비정규성 QMLE의 일관성 문제를 해결하기 위해.
• 비정규성 QMLE의 일관성 달성을 위한 핵심 요소로 알려지지 않은 척도 파라미터를 규명하기 위해.
• 일반적인 비정규 오차 분포 하에서도 일관성과 점근적 정규성을 보장하는 이중단계 비정규성 QMLE(2SNG-QMLE)를 개발하기 위해.
• 특히 오차 분포가 무거운 尾를 가질 경우 기존의 정규분포 QMLE보다 추정 효율성을 향상시키기 위해.
• 진정한 오차 분포와 가짜우도 분포 간의 상대적인 尾의 두께가 점근적 효율성에 미치는 영향을 조사하기 위해.

제안 방법

• 이중단계 추정 절차를 제안: 먼저 가짜우도의 알려지지 않은 척도 파라미터를 추정하고, 이를 바탕으로 GARCH 모수에 대한 일관된 비정규성 QMLE를 구성한다.
• 오차 분포의 대칭성이나 단두성 가정 없이도 적용 가능한 비정규성 QMLE의 일반적 프레임워크를 도입한다.
• 진정한 오차 분포가 정규분포에서 크게 벗어나도, 미약한 모멘트 조건 하에서 2SNG-QMLE의 점근적 정규성과 일관성을 도출한다.
• 척도 파라미터 문제를 다루기 위해 재매개변수화 접근법을 사용하여 추정량의 식별성과 일관성을 보장한다.
• 이중단계 GMM 유사 프레임워크에서 최적의 가중치를 적용하여 2SNG-QMLE의 점근적 효율성을 추가로 향상시킨다.
• 이론적 결과와 효율성 향상 정도를 검증하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션과 S&P500 데이터에 대한 실증 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진정한 오차 분포가 가짜우도 가족에 속하지 않을 경우, GARCH 모형에서 비정규성 QMLE가 일관적으로 추정될 수 있는가?
• RQ2 비정규성 QMLE의 일관성에 있어 알려지지 않은 척도 파라미터가 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 오차 분포와 가짜우도 분포의 상대적인 尾의 두께가 추정량의 점근적 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이중단계 절차는 일반적인 비정규 오차 분포 하에서도 일관성을 유지하면서 비정규성 QMLE의 효율성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 오차 분포가 무거운 尾를 가질 경우, 2SNG-QMLE는 정규분포 QMLE보다 분산 감소 측면에서 얼마나 더 뛰어난가?

주요 결과

• 2SNG-QMLE는 비정규 오차 분포 하에서도 GARCH 모수에 대해 일관적이고 점근적으로 정규분포를 따르는 추정을 달성하며, 대칭성이나 단두성 가정 없이도 가능하다.
• 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 확인된 바, 오차 분포가 무거운 尾를 가질 경우 기존의 정규분포 QMLE보다 추정 효율성이 높아진다.
• 2SNG-QMLE의 점근적 분산은 정규분포 QMLE보다 작으며, 오차 분포가 점점 더 무거운 尾를 가질수록 효율성 향상 정도가 커진다.
• 가짜우도 내 알려지지 않은 척도 파라미터는 일관성에 핵심적인 요소로 규명되었으며, 첫 번째 단계에서 이 파라미터를 추정함으로써 두 번째 단계에서 타당한 추론이 가능해진다.
• 추정량을 조합하기 위한 최적의 가중치는 모든 모수에 대해 동일하게 적용되며, 이는 척도 파라미터와 GARCH 파라미터 모두에 동일한 가중치 체계가 적용된다는 것을 의미한다.
• S&P500 데이터에 대한 실증 분석 결과, 2SNG-QMLE는 정규분포 QMLE보다 더 효율적인 추정치를 제공하며 잔차의 첨도가 진정한 값(4.6)에 더 가까워진다(정규분포 기준 3과 대비).