[논문 리뷰] Non-geometric Backgrounds and the First Order String Sigma Model

Nick Halmagyi|ArXiv.org|2009. 06. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 46인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 비벡터, 두차형, 역메트릭 커플링을 포함한 일阶 스트링 시그마 모형을 수립하여, 비기하적 배경이 비벡터 장의 전역적 성질에서 유래됨을 보여준다. 상위 토폴로지 섹터를 막대행동으로 올림으로써, 로이텐버그 브라켓을 코딩하는 일반화된 웨스-츠ومино 항을 유도하며, $(H, F, Q, R)$ 플럭스 계수는 이중성에 따라 변환되는 반면 비벡터 $\Pi^{ij}$ 는 국소적으로만 정의되므로 비기하성의 유일한 원인임을 드러낸다.

ABSTRACT

We study the first order form of the NS string sigma model allowing for worldsheet couplings corresponding on the target space to a bi-vector, a two-form and an inverse metric. Lifting the topological sector of this action to three dimensions produces several Wess-Zumino like terms which encode the bi-vector generalization of the Courant bracket. This bracket may be familiar to physicists through the (H_{ijk},F_{ij}^{k},Q_i^{jk},R^{ijk}) notation for non-geometric backgrounds introduced by Shelton-Taylor-Wecht. The non-geometricity of the string theory in encoded in the global properties of the bi-vector, when the bi-vector is a section then the string theory is geometric. Another interesting situation emerges when one considers membrane actions which are not equivalent to string theories on the boundary of the membrane. Such a situation arises when one attempts to describe the so-called R-space (the third T-dual of a T^3 with H_3 flux). This model appears to be, at least classically, described by a membrane sigma model, not a string theory. Examples of geometric backgrounds with bi-vector couplings and non-vanishing Q-coefficients are provided by gauged WZW models.

연구 동기 및 목표

• 비벡터 커플링을 포함한 일阶 시그마 모형을 사용하여 비기하적 스트링 배경의 월드시트 제형을 개발한다.
• 비벡터 $\Pi^{ij}$ 가 비기하성을 어떻게 코딩하는지 밝히며, 전역적으로 정의된 플럭스들과의 차이를 명확히 한다.
• 일阶 모형의 토폴로지 섹터를 막대행동으로 올려 일반화된 웨스-츠ومино 항을 도출한다.
• $(H, F, Q, R)$ 플럭스 계수가 이중성에 따라 변환되는 반면 $\Pi^{ij}$ 는 비자명하게 변환됨을 보여, 그가 기하학적 장벽임을 밝힌다.
• 토로이드적 단순화를 초월하여 $R$-공간과 게이지된 WZW 모형을 포함한 비기하적 배경을 연구할 수 있는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 메트릭, $B$-장, 비벡터 $\Pi^{ij}$ 커플링을 포함한 공변 해밀토니안으로 일阶 스트링 시그마 모형을 수립한다.
• 공간과 시간에 대해 레전드르 변환을 수행하여 $\mathcal{S} = \int_{\Sigma} \left( \eta^{ab} p_a \wedge *p_b + e^a \wedge p_a + B_{ab} e^a \wedge e^b + \Pi^{ab} p_a \wedge p_b \right)$ 라는 작용을 구성한다.
• 작용의 토폴로지 부분을 3차원 막대 세계체로 올려 일반화된 웨스-츠ومино 항을 생성하며, 계수 $(H_{ijk}, F_{ij}^k, Q^{ij}_k, R^{ijk})$ 를 포함한다.
• 여기서 $\psi^i = dx^i + \Pi^{ik} p_k$ 를 정의하여 막대 작용을 일반화된 기하학의 언어로 표현하며, 로이텐버그 브라켓과 연결한다.
• $(H, F, Q, R)$ 계수가 $O(d,d,\mathbb{Z})$ 이중성에 따라 상호 변환되며, $\Pi^{ij}$ 는 비자명하게 변환됨을 보여, 그가 비기하성의 원인임을 입증한다.
• 예시 적용: $T^3$ 에서의 $H$-플럭스, $Q$-공간, $R$-공간, 게이지된 WZW 모형을 적용하여 기존의 이중성 프레임과의 일致를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비벡터 커플링을 포함한 일阶 월드시트 시그마 모형에서 비기하적 스트링 배경을 어떻게 일관적으로 제형화할 수 있는가?
• RQ2 비벡터 $\Pi^{ij}$ 는 기하적 배경과 비기하적 배경을 어떻게 구별하는가?
• RQ3 일阶 시그마 모형의 막대행동으로부터 $(H, F, Q, R)$ 플럭스 계수는 어떻게 유도되는가?
• RQ4 왜 비기하적 배경에서는 비벡터 $\Pi^{ij}$ 가 국소적으로만 정의되며, 플럭스 $(H, F, Q, R)$ 는 전역적으로 잘 정의되는가?
• RQ5 일阶 모형을 사용하여 $R$-공간을 스트링 이론이 아닌 막대 이론으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 비벡터 커플링을 포함한 일阶 시그마 모형은 표준 기하적 설정을 초월하여 이중성 공변적 제형을 제공한다.
• 토폴로지 섹터의 막대행동은 $(H, F, Q, R)$ 계수로 매개화된 일반화된 웨스-츠ومино 항을 생성하며, 이는 로이텐버그 브라켓을 실현한다.
• 비벡터 $\Pi^{ij}$ 는 $\wedge^2 T_X$ 의 전역 섹션일 필요가 없으며, $O(d,d,\mathbb{Z})$ 변환을 통해 조각지어 질 수 있어 비기하성의 원천이 된다.
• 모든 알려진 예시에서 플럭스 계수 $(H, F, Q, R)$ 는 이중성에 따라 상호 변환되며, $\Pi^{ij}$ 는 비자명하게 변환됨을 보여, 그가 비기하성의 기여자임을 확인한다.
• $R$-공간( $T^3$ 에서의 $H$-플럭스의 삼중 T-대칭)은 적어도 고전적으로 스트링 이론이 아니라 막대 시그마 모형으로 기술됨을 보여준다.
• 게이지된 WZW 모형은 비영인 $Q$-플럭스를 가진 기하적 배경의 명시적 예를 제공하며, 곡률과 $Q$-플럭스의 균형을 이루는 NS 초중력 이론의 새로운 해를 제안한다.