[논문 리뷰] Non-globally Lipschitz Counterexamples for the stochastic Euler scheme

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 초선형 성장 계수를 가진 확률미분방정식(SDEs)의 진정한 해로의 강한 L^p 의미와 수치적으로 약한 의미에서의 수렴에 실패하는 확률적 오일러 스킴을 보여준다. 저자들은 정확한 해와 수치적 근사 사이의 오차가 무한대로 발산하는 반례를 제시하여 이러한 SDEs에 대한 수렴성에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The stochastic Euler scheme is known to converge to the exact solution of a stochastic differential equation with globally Lipschitz coefficients and even with coefficients which grow at most linearly. For super-linearly growing coefficients convergence in the strong and numerically weak sense remained an open question. In this article we prove for many stochastic differential equations with super-linearly growing coefficients that Euler’s approximation does not converge neither in the strong L p-sense nor in the numerically weak sense to the exact solution. Even worse, the difference of the exact solution and of the numerical approximation diverges to infinity in the strong L p-sense and in the numerically weak sense. 1

연구 동기 및 목표

• 초선형 성장 계수를 가진 SDEs에 대해 확률적 오일러 스킴의 수렴 여부에 관한 열린 문제를 다루는 것.
• 계수가 선형보다 더 빠르게 증가하는 경우, 이전에 증명되지 않은 수렴성에 대해 오일러 스킴의 행동을 조사하는 것.
• 이러한 SDEs에 대해 강한 L^p 의미와 수치적으로 약한 의미에서의 수렴 여부를 판단하는 것.
• 정확한 해와 수치적 근사 사이의 오차가 발산하는 명시적 반례를 구성하는 것.
• 초기 성장하는 드리프트 또는 확산 계수를 가진 SDEs의 실질적 시뮬레이션에서 오일러 스킴의 한계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 반례로 사용할 수 있는 초선형 성장 계수를 가진 특정 SDEs의 구성.
• 이러한 구성된 SDEs에 대해 오일러 스킴의 강한 L^p 수렴 행동 분석.
• 해의 기능성의 기대값 수렴을 검토하여 수치적 약한 수렴을 조사하는 것.
• 강한 및 약한 의미에서 오차의 발산을 증명하기 위해 확률적 및 분석적 기법의 사용.
• 정확한 해와 수치적 해의 차이에 대한 경계 및 渐近적 행동 설정.
• 전역 리프시츠 및 선형 성장 계수에 대한 수렴 결과를 바탕으로 초선형 케이스와 대비하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 성장 계수를 가진 SDEs에 대해 확률적 오일러 스킴이 강한 L^p 의미에서 수렴하는가?
• RQ2 초선형 성장 계수를 가진 SDEs에 대해 오일러 스킴은 수치적으로 약하게 수렴하는가?
• RQ3 강한 및 약한 의미에서 모두 정확한 해에서 오일러 스킴이 발산하는 반례를 구성할 수 있는가?
• RQ4 초선형 계수 케이스에서 정확한 해와 오일러 근사 사이의 오차의 渐近적 행동은 무엇인가?
• RQ5 급격히 증가하는 계수를 가진 SDEs에 오일러 스킴를 적용할 때 기본적인 제약 조건이 존재하는가?

주요 결과

• 초선형 성장 계수를 가진 SDEs에 대해 확률적 오일러 스킴은 정확한 해로의 강한 L^p 의미에서 수렴하지 않는다.
• 구성된 반례에서 정확한 해와 오일러 근사 사이의 오차는 강한 L^p 의미에서 무한대로 발산한다.
• 초선형 성장 계수의 존재 하에서 수치적 약한 수렴 역시 실패한다.
• 오차의 발산은 기대값의 기능성에서도 발생하여 수치적 약한 의미에서의 실패를 나타낸다.
• 이 결과는 이러한 SDEs에 대해 오일러 스킴 하에서 수렴이 보장될 수 없다는 것을 증명하여 열린 문제를 해결한다.
• 정확한 해와 수치적 해의 차이가 유한하지 않게 증가하는 명시적 반례가 제공된다.