[논문 리뷰] Non-hexagonal lattices from a two species interacting system

Senping Luo, Xiaofeng Ren외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 25.

Block Copolymer Self-Assembly참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비대칭 장거리 상호작용을 갖는 삼블록 고분자를 모델링하는 이종 두 성분 상호작용 시스템을 연구하며, 최소 에너지 구성에서 정육각형 격자가 아닌 직사각형, 정사각형, 또는 평행사변형 격자가 나타남을 보여준다. 이는 제어 매개변수 $b$에 따라 달라진다. 주요 결과는 정육각형 격자가 오직 $b=1$일 때에만 나타나며, 이는 한 성분 시스템에서 정육각형 질서가 일반적임과 대조된다.

ABSTRACT

A two species interacting system motivated by the density functional theory for triblock copolymers contains long range interaction that affects the two species differently. In a two species periodic assembly of discs, the two species appear alternately on a lattice. A minimal two species periodic assembly is one with the least energy per lattice cell area. There is a parameter $b$ in $[0,1]$ and the type of the lattice associated with a minimal assembly varies depending on $b$. There are several thresholds defined by a number $B=0.1867...$ If $b \in [0, B)$, a minimal assembly is associated with a rectangular lattice whose ratio of the longer side and the shorter side is in $[\sqrt{3}, 1)$; if $b \in [B, 1-B]$, a minimal assembly is associated with a square lattice; if $b \in (1-B, 1]$, a minimal assembly is associated with a rhombic lattice with an acute angle in $[\fracπ{3}, \fracπ{2})$. Only when $b=1$, this rhombic lattice is a hexagonal lattice. None of the other values of $b$ yields a hexagonal lattice, a sharp contrast to the situation for one species interacting systems, where hexagonal lattices are ubiquitously observed.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 상호작용을 갖는 삼블록 고분자에서 주기적인 마이크로상분리의 발생 원리를 이해하기 위해.
• 장거리 상호작용이 존재하는 이종 두 성분 시스템에서 최소 에너지 격자 구조(직사각형, 정사각형, 평행사변형)를 규명하기 위해.
• 상호작용 비대칭성에 영향을 주는 제어 매개변수 $b \in [0,1]$에 따라 격자 유형이 어떻게 변화하는지 규명하기 위해.
• 왜 이종 두 성분 시스템에서는 한 성분 모델과 달리 정육각형 격자가 일반적으로 나타나지 않는지 설명하기 위해.
• 다양한 격자 유형이 자유 에너지 함수를 최소화하는 데 필요한 엄밀한 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 두 성분을 나타내는 $\Lambda$-주기적 집합 $\Omega_1, \Omega_2$를 갖는 $\mathbb{C}/\Lambda$ 위의 변분 문제를 설정하며, 평균 면적 $\omega_1, \omega_2$에 대한 제약 조건을 포함한다.
• 자기수반 행렬 $\gamma$를 통해 경계 에너지 항과 장거리 상호작용 항을 포함하는 자유 에너지 함수 $\mathcal{J}_\Lambda$를 정의한다.
• 격자 이중성과 복소해석학을 활용하여 에너지 함수를 분석하며, 특히 상호작용 비대칭성의 정도를 결정하는 매개변수 $b$의 역할에 초점을 맞춘다.
• 아이젠슈타인 급수와 타우 함수를 포함한 점근 전개 및 부등식을 적용하여 후보 격자 간 에너지 차이를 근사적으로 제한한다.
• 구간을 분할하고 격자 유형을 분류하기 위해 임계 매개변수 $B \approx 0.1867$를 도입한다.
• 엄밀한 추정과 급수 전개를 활용하여 $T(y) > 0$임을 증명함으로써, 비정육각형 격자의 안정성을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 장거리 상호작용을 갖는 이종 두 성분 상호작용 시스템에서 자유 에너지를 최소화하는 격자 구조는 무엇인가?
• RQ2 왜 이종 두 성분 시스템에서는 한 성분 모델과 달리 정육각형 질서가 기저 상태로 나타나지 않는가?
• RQ3 제어 매개변수 $b$는 최소 에너지 구성에서 직사각형, 정사각형, 평행사변형 격자 유형 간의 전이를 어떻게 규제하는가?
• RQ4 상호작용 비대칭성은 일반적으로 정육각형 질서를 선호하는 자가조직화 시스템의 대칭성을 어떻게 깨뜨리는가?
• RQ5 예각 각도가 $[\pi/3, \pi/2)$ 범위에 있는 평행사변형 격자가 언제 전역 최소화자로 작용하는가?

주요 결과

• 모든 $b \in [0, B)$에서 $B \approx 0.1867$일 때, 최소 에너지 구성은 비율이 $[\sqrt{3}, 1)$ 범위에 있는 직사각형 격자에 해당한다.
• 모든 $b \in [B, 1-B]$일 때, 최소 에너지 상태는 정사각형 격자이다.
• 모든 $b \in (1-B, 1]$일 때, 최소 에너지 격자는 예각 각도가 $[\pi/3, \pi/2)$ 범위에 있는 평행사변형 격자이며, $b=1$일 때에만 정육각형에 수렴한다.
• 모든 $b \in [0,1)$에 대해 정육각형 격자는 기저 상태가 아니며, 이는 한 성분 시스템에서 정육각형 질서가 일반적임과 뚜렷한 대비를 이룬다.
• 급수 전개와 부등식을 활용하여 경쟁 격자 간 에너지 차이를 엄밀히 제한함으로써, 다양한 매개변수 영역에서 비정육각형 격자의 안정성을 입증한다.