[논문 리뷰] Non-homogeneous fractional Schrödinger equation

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 산맥 길이 정리와 에클랜드의 변분 원리를 사용하여 비동차 분수 슈뢰딩거 방정식의 최소 두 개의 비자명한 해의 존재성을 확립한다. 잠재력 $V(x)$, 비선형성 $f(u)$, 외부 원천 $h(x)$에 적절한 조건이 만족될 경우, 저자들은 분수 소볼레프 공간 $H^\alpha(\mathbb{R}^n)$ 내에서 해의 다중성을 증명하며, 이는 이전 결과를 비자명한 외부 힘의 경우로 확장한다.

ABSTRACT

In this article we are interested on the non-homogeneous fractional Schrödinger equation \begin{eqnarray}\label{eq00} &(-Δ)^αu(x) + V(x)u(x) = f(u) + h(x) \mbox{ in } \mathbb{R}^{n}. \end{eqnarray} By using mountain pass Thoerem and Ekeland's variational principle, we prove the existence of two nontrivial solutions for ( ef{eq00}).

연구 동기 및 목표

• 비자명한 해가 존재하지 않는 비동차 분수 슈뢰딩거 방정식에 대한 존재 결과 부족 문제를 다루기 위해.
• 비영인 외부 원천 $h(x)$ 가 존재할 경우 다수의 해 존재성을 확립하기 위해.
• 이전에 다뤄진 동차 방정식 결과를 $h \not\equiv 0$ 인 비동차 경우로 확장하기 위해.
• 강제항이 존재하는 상황에서 컴팩트성과 팔라이스-스미스 조건을 증명하는 데 도전 과제를 극복하기 위해.

제안 방법

• 중량이 부여된 분수 소볼레프 공간 $H_V^\alpha(\mathbb{R}^n)$ 내에서 문제를 설정하며, 노름은 $\|u\|_V^2 = \int_{\mathbb{R}^n} ((-\Delta)^\alpha u)u \, dx + \int_{\mathbb{R}^n} V(x)u^2 \, dx$ 로 정의된다.
• 에너지 함수 $I(u) = \frac{1}{2}\|u\|_V^2 - \int_{\mathbb{R}^n} F(u) \, dx - \int_{\mathbb{R}^n} h(x)u \, dx$ 를 정의한다.
• 산맥 길이 정리를 적용하여 양의 수준 $c > 0$ 에서 임계점을 확립한다.
• 닫힌 구 $\overline{B(0,\varrho)}$ 에서 에클랜드의 변분 원리를 적용하여 수준 $\overline{c} < c$ 에서 두 번째 임계점을 찾는다.
• 잠재력 $V(x)$ 의 강력성과 $L^{2_\alpha^*}$ 및 $L^2$ 에 대한 컴팩트 임bedding 을 이용하여 두 수준에서 팔라이스-스미스 조건을 증명한다.
• 가정된 조건인 $f(0) = 0$, $t \to 0$ 일 때 $f(t) = o(|t|)$, $|t| \to \infty$ 일 때 $f(t) = o(|t|^{2_\alpha^*})$ 와 암브로세티-라비노비츠 조건 $\mu F(u) \leq u f(u)$ 을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 원천 $h \not\equiv 0$ 인 비동차 분수 슈뢰딩거 방정식은 다수의 해를 갖는가?
• RQ2 산맥 길이 정리와 에클랜드 원리는 비자명한 외부 힘의 경우에 해의 다중성을 증명하는 데 적용 가능한가?
• RQ3 $f$, $V$, $h$ 에 어떤 조건이 성립하면 $H^\alpha(\mathbb{R}^n)$ 내에서 기하학적으로 다른 두 개의 해가 존재하는가?
• RQ4 비영인 강제항 존재 시 변분 프레임워크 내에서 컴팩트성과 팔라이스-스미스 조건에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제시된 가정 하에 $\mathbb{R}^n$ 에서 방정식 $(-\Delta)^\alpha u + V(x)u = f(u) + h(x)$ 는 최소 두 개의 서로 다른 비자명한 해를 갖는다.
• 첫 번째 해는 산맥 길이 정리를 통해 양의 임계 수준 $c > 0$ 에서 확보되며, 이는 비영임계점을 보장한다.
• 두 번째 해는 닫힌 구 $\overline{B(0,\varrho)}$ 에서 에클랜드의 변분 원리를 적용하여 수준 $\overline{c} < c$ 에서 유도된 임계점에서 유래된다.
• 잠재력 $V(x)$ 의 강력성과 컴팩트 임bedding $H_V^\alpha(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{2_\alpha^*}(\mathbb{R}^n)$ 을 통해 두 수준에서 팔라이스-스미스 조건이 성립한다.
• 엄격한 부등식 $\overline{c} < c$ 를 통해 두 임계점이 겹치지 않음을 보장하여 두 개의 서로 다른 해 존재가 보장된다.
• 이 결과는 이전의 동차 방정식에 대한 존재 정리들을 $h \not\equiv 0$ 인 비동차 경우로 확장하며, 이는 이전에 다루지 않은 영역이다.