[논문 리뷰] Non intrusive method for parametric model order reduction using a bi-calibrated interpolation on the Grassmann manifold

Mourad Oulghelou, Cyrille Allery|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 31.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이중 校정 보간을 사용하여 그라스만 다양체 위에서 적절한 직교 분해(POD) 공간 및 시간 기저를 비침습적 파arametric 모델 순서 감소 방법인 Bi-CITSGM을 제안한다. ITSGM를 이용한 탄성 공간 보간과 두 개의 분석적 최적화 기반 校정 행렬을 적용함으로써, 고해상도 모델 재계산이 비용이 많이 들더라도 새로운 레이놀즈 수에 대해 고정밀도 ROM을 실시간 계산 효율성과 함께 달성한다.

ABSTRACT

Approximating solutions of non-linear parametrized physical problems by interpolation presents a major challenge in terms of accuracy. In fact, pointwise interpolation of such solutions is rarely efficient and leads generally to incorrect results. However, instead of using a straight forward interpolation on solutions, reduced order models can be interpolated. More particularly, Amsallem and Farhat proposed an efficient POD reduced order model interpolation technique based on differential geometry tools. This approach, named in this paper ITSGM (Interpolation On a Tangent Space of the Grassmann Manifold), allows through the passage to the tangent space of the Grassmann manifold, to approximate accurately the reduced order basis associated to a new untrained parameter. This basis is used afterwards to build the interpolated ROM describing the temporal dynamics by performing the Galerkin projection on the high fidelity model. Such Galerkin ROMs require to access to the underlying high fidelity model, leading by that to intrusive ROMs. In this paper, and contrary to the ITSGM/Galerkin approach, we propose a non-intrusive reduced order modeling method which is independent of the governing equations. This method is named through this paper Bi-CITSGM (Bi-Calibrated ITSGM). It consists first to interpolate the spatial and temporal POD sampling bases considered as representatives of points on Grassmann manifolds, by the ITSGM method. Then, the resulting bases modes are reclassified by introducing two orthogonal matrices. These calibration matrices are determined as analytical solutions of two optimization problems. Results on the flow problem past a circular cylinder where the parameter of interpolation is the Reynolds number, show that for new untrained Reynolds number values, the developed approach produces satisfyingly accurate solutions in a real computational time.

연구 동기 및 목표

• 매개변수 공간 전반에서 비선형 PDE를 풀기 위한 높은 계산 비용을 해결하고자 하며, 특히 고해상도 모델을 재계산하는 데 비용이 많이 들기 때문이다.
• 이론적 지배 방정식에 접근이 필요한 침습적 감소된 순서 모델(ROM)의 한계를 극복하고자 하며, 실험 또는 블랙박스 데이터에 적용할 수 없다는 점을 고려한다.
• 지배 방정식에 대한 접근이 불필요한 비침습적 ROM 프레임워크를 개발하여, 고해상도 모델에 대한 접근 없이도 POD 기저를 그라스만 다양체 위에서 보간함으로써 정확성과 효율성을 유지하고자 한다.
• 분석적 최적화 문제로부터 유도된 직교 행렬을 활용한 이중 校정 절차를 도입하여 감소된 기저의 보간 정확도를 향상시키고자 한다.
• 복잡한 유동 문제에서 새로운 훈련되지 않은 매개변수 값(예: 레이놀즈 수)에 대해 실시간으로 정확한 해 예측을 가능하게 하고자 한다.

제안 방법

• 그라스만 다양체 위의 점으로 간주되는 공간 및 시간 POD 기저를 ITSGM(그라스만 다양체의 탄성 공간 보간) 방법을 사용하여 기하학적 경로를 계산함으로써 보간한다.
• 보간된 기저를 기준점에서의 탄성 공간으로 매핑하고, 여기서 초기 속도의 선형 보간을 수행한다.
• 보간된 탄성 벡터를 지수함수로 변환하여 보간된 기저를 재구성함으로써, 그라스만 다양체 위에 유지된 상태를 보장한다.
• 두 개의 직교 校정 행렬을 분석적 해법을 통해 도출하여, 보간된 기저의 정확도를 향상시키는 데 기여한다.
• 고해상도 모델의 내부 구조를 요구하지 않으며, 감소된 순서 모델을 구성하기 위해 보간된 기저를 활용하여 비침습적 ROM를 수립한다.
• 교정된 기저를 사용하여 갈레르킨 프로젝션을 통해 전체 해를 재구성함으로써, 새로운 매개변수 값에 대해 빠르고 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지배 방정식에 대한 접근이 없는 상태에서 매개변수 공간 전반에 걸쳐 감소된 기저를 정확하게 보간할 수 있는 비침습적 ROM를 구축할 수 있는가?
• RQ2 직교 행렬을 통한 이중 校정이 표준 ITSGM에 비해 그라스만 다양체 상에서 보간된 POD 기저의 정확도를 얼마나 향상시키는가?
• RQ3 유동 시뮬레이션에서 훈련되지 않은 레이놀즈 수에 대해 제안된 Bi-CITSGM 방법이 정확성과 계산 효율성을 얼마나 유지하는가?
• RQ4 그라스만 다양체 상에서 공간 및 시간 POD 모드를 동시에 보간하는 것이 비선형 파arametric 문제에 대해 안정적이고 정확한 비침습적 ROM를 제공할 수 있는가?
• RQ5 기존의 침습적 ROM나 다른 비침습적 방법에 비해 Bi-CITSGM의 계산 성능 향상 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• Bi-CITSGM 방법은 원형 실린더 뒤의 유동에서 새로운 훈련되지 않은 레이놀즈 수에 대해 고해상도 시뮬레이션과 밀도적으로 일치하는 결과를 보이며 높은 정확도를 달성한다.
• 이중 校정 절차는 기저의 비일치를 최소화함으로써 보간 정확도를 크게 향상시키며, 재구성된 해에서의 투영 오차 감소로 이를 입증한다.
• 이 방법은 실시간 해 예측이 가능하며, 새로운 매개변수 값에 대해 계산 시간이 초 단위로 측정되어 온라인 응용에 적합하다.
• Bi-CITSGM의 비침습적 성격 덕분에 지배 PDE가 알려지지 않거나 접근이 불가능한 실험 또는 블랙박스 데이터에 적용 가능하다.
• 그라스만 다양체 보간과 탄성 공간 매핑을 통해 매개변수 변화에 따른 기저 보간의 기하학적 일致성과 안정성을 확보한다.
• 두 개의 校정 행렬을 분석적으로 유도함으로써 반복 최적화를 피하고 계산 효율성을 향상시키며, 강건성을 확보한다.