[논문 리뷰] Non-intrusive reduced-order models for parametric partial differential equations via data-driven operator inference

Shane A. McQuarrie, Parisa Khodabakhshi외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 14.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 PDE의 매개변수형 축소 모델(ROM)을 구축하기 위한 비침습적, 데이터 기반의 연산자 추론 프레임워크를 소개한다. 시뮬레이션 데이터에 대한 선형 회귀를 통해 매개변수 구조를 직접 학습된 ROM 연산자에 통합함으로써, 불확실성 정량화 및 역문제와 같은 응용 분야에서 매개변수 변화에 따른 빠른 PDE 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This work formulates a new approach to reduced modeling of parameterized, time-dependent partial differential equations (PDEs). The method employs Operator Inference, a scientific machine learning framework combining data-driven learning and physics-based modeling. The parametric structure of the governing equations is embedded directly into the reduced-order model, and parameterized reduced-order operators are learned via a data-driven linear regression problem. The result is a reduced-order model that can be solved rapidly to map parameter values to approximate PDE solutions. Such parameterized reduced-order models may be used as physics-based surrogates for uncertainty quantification and inverse problems that require many forward solves of parametric PDEs. Numerical issues such as well-posedness and the need for appropriate regularization in the learning problem are considered, and an algorithm for hyperparameter selection is presented. The method is illustrated for a parametric heat equation and demonstrated for the FitzHugh-Nagumo neuron model.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 PDE의 매개변수 구조를 유지하는 비침습적 축소 모델링 프레임워크를 개발하는 것.
• 매개변수 공간의 고차원성 문제를 해결하기 위해 데이터에서 직접 매개변수화된 연산자를 학습하는 것.
• 불확실성 정량화 및 역문제와 같이 많은 PDE 평가가 필요한 응용 분야에서 효율적인 정방향 해법을 가능하게 하는 것.
• 학습 과정에서 정규화 및 초매개변수 선택을 통해 잘 정의된 문제성과 강건성을 확보하는 것.
• 매개변수에 대한 애핀 의존성을 가지는 PDE, 예를 들어 열 방정식 및 FitzHugh–Nagumo 모델에 대한 방법의 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 원래의 고정밀도 코드에 접근할 수 없더라도, 시뮬레이션 스냅샷과 시간 도함수로부터 연산자 추론(OpInf)을 활용해 축소 모델 연산자를 학습한다.
• 기저 함수를 통해 축소 연산자의 계수를 매개변수의 함수로 모델링함으로써, 매개변수 의존성을 직접 ROM 구조에 통합한다.
• 데이터 기반 선형 회귀 문제를 해결하여 매개변수화된 연산자를 추론하며, 시스템 행렬은 매개변수화된 기저 함수와 상태 궤적에서 구성된다.
• 고차원 매개변수 공간에서의 수치적 안정성과 일반화 성능 향상을 위해 희소 회귀 및 정규화를 적용한다.
• 정규화의 최적화 및 학습 성능 향상을 위해 초매개변수 선택 알고리즘을 적용한다.
• 비선형 항은 이차 및 선형 항의 텐서화된 매개변수화를 통해 처리하여, 매개변수화된 축소 연산자의 효율적 계산을 가능하게 한다.

Figure 1: Experimental parameter samples (left) and associated snapshots at intermediate time $t=t_{75}=0.075$ (right) for the heat equation problem Eq. 8a – Eq. 8c . The vertical line $x=\bar{x}$ marks the point in the domain where the diffusion constant switches between $\alpha$ and $\beta$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비침습적 ROM 프레임워크가 시뮬레이션 데이터만을 사용하여 시간에 따라 변화하는 PDE의 매개변수 의존성을 정확히 포착할 수 있는가?
• RQ2 매개변수 구조를 직접 축소 모델 연산자에 통합하여 물리적 일致성과 계산 효율성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 매개변수형 ROM 학습에서 잘 정의된 문제성과 강건성을 확보하기 위해 효과적인 정규화 전략은 무엇인가?
• RQ4 기존의 보간 기반 ROM 접근법에 비해, 매개변수 차원이 증가함에 따라 이 방법은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 FitzHugh–Nagumo 모델과 같은 복잡한 매개변수형 PDE에 대해 높은 정확도와 속도 향상을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 데이터로부터 직접 매개변수화된 축소 연산자를 학습함으로써 매개변수형 PDE의 정확하고 빠른 해법을 달성한다.
• 전체 순서 모델 대비 높은 계산 속도 향상을 보이며, 많은 쿼리가 필요한 응용 분야에서 효율성을 확보한다.
• 정규화 및 초매개변수 선택은 특히 고차원 매개변수 공간에서 학습의 안정성과 일반화 성능 향상에 기여한다.
• 차원의 극복 문제를 피하기 때문에, 고차원 매개변수 공간에서 보간 기반 ROM보다 성능이 뛰어나다.
• 매개변수에 대한 다양한 값에서 열 방정식 및 FitzHugh–Nagumo 모델에 대한 수치 실험 결과는 높은 정확도와 강건성을 입증한다.
• 결과로 도출된 ROM은 매개변수 구조를 연산자 추론 과정에 직접 통합함으로써 잘 정의되고 물리적으로 일치하는 성질을 유지한다.

Figure 2: Residual energy decay (left) and the six dominant POD basis functions (right) for the snapshot set generated at the parameter samples in Fig. 1 . For $r\geq 12$ , we have $1-\mathcal{E}(r)<10^{-7}$ ; if $r\geq 19$ , then $1-\mathcal{E}(r)<10^{-10}$ .