[논문 리뷰] Non-invertible SPTs: an on-site realization of (1+1)d anomaly-free fusion category symmetry

Chao Meng, Xinping Yang외 2명|arXiv (Cornell University)|2024. 12. 29.

Atomic and Subatomic Physics Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비가역적 융합 범주 대칭으로 보호되는 (1+1)d SPT 상을 분류하고 구성하기 위한 프레임워크를 개발하며, Rep†(D8)용 세 가지 서로 다른 SPT 상이 S3-대칭 이중성으로 연결됩니다.

ABSTRACT

We investigate (1+1)d symmetry-protected topological (SPT) phases with fusion category symmetries. We emphasize that the UV description of an anomaly-free fusion category symmetry must include the fiber functor, giving rise to a local symmetry action, a charge category and a trivial phase. We construct an ``onsite'' matrix-product-operator (MPO) version of the Hopf algebra symmetry operators in a lattice model with tensor-product Hilbert space. In particular, we propose a systematic framework for classifying and constructing SPTs with non-invertible symmetries. An SPT phase corresponds to a Q-system in the charge category, such that the Q-system becomes a matrix algebra when the symmetry is forgotten. As an example, we provide an explicit microscopic realization of all three $\mathsf{Rep}^\dagger(D_8)$ SPT phases, including a trivial phase, and further demonstrate the $S_3$-duality among these three SPT phases.

연구 동기 및 목표

• 로컬 온사이트 작용과 무상태(trivial) 대칭상을 보장하기 위해 파이버 함수(fiber functor)를 통해 anomaly-free 융합 범주 대칭을 정의한다.
• 격자에서 Rep†(D8) 대칭 연산자의 온사이트 MPO(MPO) 구현을 개발한다.
• 충전 범주에서 Q-시스템으로 (1+1)d SPT 상을 분류하고 구성하며, forgetful functors를 통해 이를 행렬 대수와 연관시킨다.
• 세 가지 Rep†(D8) SPT 상을 격자에서 명시적으로 구현하고 이들의 S3-대칭을 시연한다.
• 파이버 함수 간의 이중 모노이드 동등성이 격자 위의 상들 간의 이중성 변환으로 어떻게 매핑되는지 보인다.

제안 방법

• C가 유닛리 융합 범주이고 f: C → Hilb를 파이버 함수로 하는 anomaly-free 쌍 (C, f)을 도입한다.
• 가상 결합 차원이 양자 차원과 같은 이중화 가능한 MPO를 사용하여 격자에서 Rep†(D8) MPO를 구성한다(온사이트 기준).
• Rep†(D8) MPO를 사영적 전하로 분해하고 위상 구현을 W(a,c), W(a,b), W(c,b,a) 섹터로 분석한다.
• 충전 범주에서 Q-시스템을 사용하여 고정점 SPT 텐서를 모델링하고 forgetful functors를 통해 이를 행렬 대수와 연결한다.
• 함정-확장된 힐베르트 공간과 가우스-법칙 프로젝션을 이용한 이중성 구성으로 세 가지 Rep†(D8) SPT 상 간의 S3-대칭을 확립한다.
• 에지 모드 및 열린 사슬의 바닥 상태 구조와의 연결을 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 격자 모델에서 비가역적 융합 범주 대칭을 온사이트에서 일관되게 구현하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 Rep†(D8) 융합 범주 대칭으로 보호되는 (1+1)d SPT 상의 분류는 무엇인가?
• RQ3 파이버 함수가 서로 다른 SPT 상을 어떻게 구성하고, 파이버 함수 간의 이중성이 격자에서 어떻게 실현될 수 있는가?
• RQ4 세 가지 Rep†(D8) SPT 상을 모두 현미경적으로 구현할 수 있으며, 에지 모드는 어떻게 특징 지어지는가?
• RQ5 충전 범주의 Q-시스템은 고정점 SPT 모형 식별에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비또한(anomaly-free) 융합 범주 대칭은 파이버 함수가 있는 쌍 (C, f)으로 주어지며, 국소성 및 자명한 대칭상을 보장한다.
• 온사이트 Rep†(D8) MPO 표현은 결합 차원이 양자 차원과 같아 텐서-곱 힐베르트 공간에서 온사이트 대칭 작용을 가능하게 한다.
• 격자에서 세 가지 Rep†(D8) SPT 상이 실현되며, 이는 사영적 전하 W(a,c), W(a,b), W(c,b,a)와 대응하고 S3-대칭이 이를 연결한다.
• 에지 모드와 열린 사슬의 바닥 상태 구조는 비자명한 상에서 거듭난 에지 상태를 드러내며 SPT 동작과 일치한다.
• 충전 범주에서 Q-시스템 모형은 SPT 상을 재현하고, 파이버 함수 간의 모노이드 동등성은 격자 상 간의 이중성을 유도한다.
• S3-대칭은 S3/K 코사인에 위치한 분류를 상에 작용시키며, 결함 및 가우스-법칙 프로젝션을 이용한 이중성 구성으로 구현된다.