[논문 리뷰] Non-invertible Symmetries and Higher Representation Theory II

Thomas Bartsch, Mathew Bullimore외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 유한 고차군을 게이징하고 그 부분군들에서 유래하는 비가역적 대칭에 대한 고 차수(group-theoretical) 프레임워크를 개발하고, D=2,3,4에서의 구체적인 범주적 설명을 제공합니다.

ABSTRACT

In this paper we continue our investigation of the global categorical symmetries that arise when gauging finite higher groups and their higher subgroups with discrete torsion. The motivation is to provide a common perspective on the construction of non-invertible global symmetries in higher dimensions and a precise description of the associated symmetry categories. We propose that the symmetry categories obtained by gauging higher subgroups may be defined as higher group-theoretical fusion categories, which are built from the projective higher representations of higher groups. As concrete applications we provide a unified description of the symmetry categories of gauge theories in three and four dimensions based on the Lie algebra $\mathfrak{so}(N)$, and a fully categorical description of non-invertible symmetries obtained by gauging a 1-form symmetry with a mixed 't Hooft anomaly. We also discuss the effect of discrete torsion on symmetry categories, based a series of obstructions determined by spectral sequence arguments.

연구 동기 및 목표

• 이산 토션(discrete torsion)을 갖는 유한 고차군 및 고차 부분군의 게이징으로부터 전역 범주 대칭을 동기부여하고 형식화한다.
• 유한 고차군의 결함 없는( anomaly-free ) 부분군을 게이징하여 얻은 대칭 범주로서의 고차(group-theoretical) 융합 범주를 정의한다.
• so(N)와 관련된 3D 및 4D 게이지 이론의 대칭 범주에 대한 통일된 범주적 설명을 제공한다.
• 혼합 ’t Hooft 이상을 가진 1-형 대칭의 게이징으로부터의 비가역적 대칭을 기술한다.
• 방해 이론(obstruction theory)과 스펙트럼 수열을 통해 대칭 범주에 대한 이산 토션의 영향을 조사한다.

제안 방법

• 유한 군 형태의 대칭 G 및 이상 α ∈ Z^{D+1}(G,U(1))를 가지는 D-차 이론에 대한 대칭 범주 (D-1)Vec^α(G) 를 도입한다.
• α|_H의 자명화 ψ를 갖는 결함 없는 (D-1)-부분군 H ⊂ G를 게이징하면, 고차(group-theoretical) 융합 범주 C(G,α|H,ψ)가 얻어진다.
• 간단한 객체들, 사상들 및 융합 규칙을 Vec^α(G)의 대수 객체 A(H,ψ) 위의 양측모듈(bimodule)로 기술한다.
• D=2,3,4로 특수화하여 상세한 이차, 삼차 및 사차 차원 사례 연구를 제시하고 Lyndon-Hochschild-Serre 스펙트럼 수열에서의 장애를 논의한다.
• 구축을 Dijkgraaf-Witten 이론의 간헐 경계 조건(gapped boundary conditions)과 이상 대칭을 가지는 TQFT 결합과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D>2에서 비가역적 글로벌 대칭이 고차(group-theoretical) 융합 범주로 어떻게 포착되는가?
• RQ2 결함 없는 부분군 H를 가진 유한 군 G의 게이징이 대칭 범주와 그 간단한 객체들을 어떻게 바꾸는가?
• RQ3 게이징 이후 간단한 객체들을 레이블링하는 데 있어 프로젝트형(고차) 표현의 역할은 무엇인가?
• RQ4 이산 토션과 스펙트럼 수열의 차폐가 대칭 범주의 존재와 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 D=3 및 D=4에서 SO(N)-기반 게이지 이론의 대칭 범주의 구체적 범주적 설명은 무엇이며, 이것이 TQFT 및 이상 제거와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• G가 가진 결함 없는 부분군 H를 게이징하고 자명화 ψ를 가진 경우 C(G,α|H,ψ)라는 고차(group-theoretical) 융합 범주가 얻어진다.
• C(G,α|H,ψ)의 간단한 객체는 (g, Φ_g) 쌍에 대응하며, 여기서 g는 Hackslash G/H의 이중합꼴에 걸치고, Φ_g는 H_g = H ∩ gHg^{-1}의 불가약한 프로젝트형 표현이며, 특정 2-코사클 c_g가 α와 ψ로부터 구성된다.
• 사상은 H-결함 접합에 호환되는 상호연결기로서, 사실상 Hom 공간은 H_g의 프로젝트형 표현 사이의 간섭기(intertwiners)로 주어진다.
• 융합은 이중합꼴 링 Z[Hackslash G/H]에 의해 좌우되며, 융합 규칙은 정의된 지원을 보존하고 이중합꼴의 곱을 G로 올려올려 계산한다.
• D=4에서는 3D 결함 위의 위상 선들의 교환으로 인해 TQFT-값의 융합 계수를 예측하며, 이 접근은 고차군 데이터와 함께 DW 이론의 갭 경계 조건과 연결된다.
• 이산 토션은 스펙트럼 수열 미분들로 포착되는 장애를 도입하며, 가능한 확장과 결과적인 대칭 범주 구조에 영향을 준다.