[논문 리뷰] Non Jordan groups of diffeomorphisms and actions of compact Lie groups on manifolds

Ignasi Mundet-i-Riera|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 미분구조군의 비조르단 성질을 일반화하며, 특히 토러스와 효과적인 SU(τ) 작용을 갖는 다양체의 곱으로 구성된 컴팩트 다양체들—그들의 미분구조군이 조르단이 아님을 보임—을 제시한다. 토러스 위의 주다발에 작용하는 헤이젠베르크 유형의 p군을 사용하여, 임의로 큰 p군에 대해 아벨 부분군이 군 크기 대비 작게 유지됨을 보여, 원래의 T²×S² 예제를 초월한 고차원 다양체에서의 비조르단 행동을 증명한다.

ABSTRACT

A recent preprint of Csikós, Pyber and Szabó (arXiv:1411.7524) proves that the diffeomorphism group of $T^2 imes S^2$ is not Jordan. The purpose of this paper is to generalize the arguments of Csikós, Pyber and Szabó in order to obtain many other examples of compact manifolds whose diffeomorphism group fails to be Jordan. In particular we prove that for any $ε>0$ there exist manifolds admitting effective actions of arbitrarily large $p$-groups $Γ$ all of whose abelian subgroups have at most $|Γ|^ε$ elements. Finally, we also recover some results on nonexistence of effective actions of compact connected semisimple Lie group on manifolds.

연구 동기 및 목표

• 원래의 T²×S² 예제를 초월하여 더 넓은 클래스의 컴팩트 다양체로 미분구조군의 비조르단 성질을 확장하는 것.
• 임의로 큰 p군의 효과적인 작용을 갖는 다양체를 구성하여, 아벨 부분군의 크기가 군 순서에 비해 작게 유지됨을 보이는 것.
• Csikós, Pyber, Szabó의 방법을 주다발 구조와 토러스 위의 심플렉틱 형식을 사용하여 일반화하는 것.
• 일부 다양체에 대해 컴팩트 연결 단순 리군의 효과적인 작용이 존재하지 않음을 복원하는 것.

제안 방법

• T^{2nr}×X 위에 효과적인 작용을 갖는 유한 p군 Γ를 구성하며, 이는 T^{2nr} 위의 주다발 SU(τ(n))^{r}-다발 위에서 정의된 코ycle을 통해 이루어진다.
• Z_p^{2n} 위의 심플렉틱 형식을 사용하여, Γ ⊂ (Γ_{n,p})^r 의 부분군을 정의하고, 아벨 부분군의 크기를 통제한다.
• 원래의 SU(τ(n))^{r}-작용이 X에 대해 갖는 핵심 H에 대해 p ∤ |H| 를 요구함으로써 작용의 효과성을 확보한다.
• 군의 작용이 일관되게 정의되도록 코ycle 조건 c(γ'γ,θ) = c(γ',γθ)c(γ,θ) 를 활용한다.
• Olshanskii의 보조정리를 적용하여, r개의 심플렉틱 형식에서 동시에 등장하는 고정점이 없도록 하여 큰 아벨 부분군이 존재하지 않도록 보장한다.
• Γ--equivariant한 구조를 통해 T^{2nr}×X 를 자명한 SU(τ(n))^{r}-다발의 몫으로 식별함으로써 작용이 올라가도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분구조군의 비조르단 성질은 원래의 T²×S² 예제를 초월하여 다른 컴팩트 다양체로 확장될 수 있는가?
• RQ2 임의로 큰 p군의 효과적인 작용을 갖는 다양체가 존재하는가? 이 경우 아벨 부분군의 크기가 임의의 ε > 0 에 대해 |Γ|^ε 이하로 유계가 되는가?
• RQ3 주다발과 토러스 위의 심플렉틱 형식을 사용하여 비조르단 미분구조군의 구성 방식을 일반화할 수 있는가?
• RQ4 기저 군이 유한 핵심을 갖는 T^{2nr}×X 위의 p군 작용이 효과적인데, 이 조건은 무엇인가?
• RQ5 p군의 작용에서 큰 아벨 부분군이 존재하지 않는다는 것이, 미분구조군에서의 비조르단 행동을 유도하는 데 어떤 조건을 필요로 하는가?

주요 결과

• 모든 n, r ∈ ℕ 에 대해, 함수 τ, M: ℕ → ℕ 가 존재하여, X 가 SU(τ(n))^{r} 의 거의 효과적인 작용을 갖는다 하면, p > M(n) 이고 p ≡ 1 mod n+1 인 소수 p 에 대해 T^{2nr}×X 는 효과적인 p군 작용을 갖는다.
• 구성된 p군 Γ 는 순서 p^{2n+r} 를 가지며, r=1 일 때는 Γ 의 모든 아벨 부분군의 크기는 최대 p^{n+1} 이다.
• r > 1 일 때는 Γ 의 모든 아벨 부분군의 크기는 최대 p^{2 + r + 4n/r} 이며, 이는 군 순서에 대해 비선형적으로 증가한다.
• p 가 H 의 순서 |H| 를 나누지 않는 한, T^{2nr}×X 위의 작용이 효과적임을 보장한다. 여기서 H 는 원래의 SU(τ(n))^{r}-작용의 핵심이다.
• 이 방법은 원래의 T²×S² 결과를 고차원 토러스와 임의의 SU(τ(n))^{r}-작용을 갖는 다양체 X 와의 곱으로 일반화한다.
• 결과적으로 T^{2nr}×X 의 미분구조군은 조르단이 아니며, 이는 광범위한 컴팩트 다양체 클래스로 비조르단 성질이 확장됨을 시사한다.