[논문 리뷰] Non linear optimal stopping problem and Reflected BSDEs in the predictable setting

Siham Bouhadou, Youssef Ouknine|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최적 정지 이론과 멀텐스 분해를 사용하여 비준비성 필터링과 예측 가능한 장애물이 있는 반사 backward stochastic differential equations (RBSDEs)의 존재성과 유일성을 확립한다. 비준비성 $g$-기대 하에서 비선형 최적 정지 문제를 도입하고, 최적의 예측 가능한 정지 시점의 존재성을 증명하며, RBSDE의 첫 번째 성분을 통해 가치 함수를 특성화한다.

ABSTRACT

In the first part of this paper, we study RBSDEs in the case where the filtration is not quasi-left continuous and the lower obstacle is given by a predictable process. We prove the existence and uniqueness by using some results of optimal stopping theory in the predictable setting, some tools from the general theory of processes as the Merten's decomposition of predictable strong supermartingale. In the second part we introduce an optimal stopping problem indexed by predictable stopping times with the non linear predictable $g$ expectation induced by an appropriate BSDE. We establish some useful properties of ${\cal{E}}^{p,g}$-supremartingales. Moreover, we show the existence of an optimal predictable stopping time, and we characterize the predictable value function in terms of the first component of RBSDEs studied in the first part.

연구 동기 및 목표

• 필터링이 비준비성이 아니고 장애물이 예측 가능할 때 반사 BSDEs를 연구하기 위해.
• 최적 정지 이론과 일반 과정 이론을 사용하여 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 비선형 최적 정지 문제를 예측 가능한 정지 시점으로 인덱스화한 $g$-기대 프레임워크에서 도입하기 위해.
• RBSDE의 첫 번째 성분을 사용하여 예측 가능한 가치 함수를 특성화하기 위해.
• 이 프레임워크에서 $\mathcal{E}^{p,g}$-초우량마팅게일의 맥락에서 최적의 예측 가능한 정지 시점의 존재성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 예측 가능한 강한 우량마팅게일의 멀텐스 분해를 활용하여 RBSDE의 구조를 분석한다.
• 옵셔널 및 예측 가능한 투영을 포함한 일반 과정 이론의 도구를 적용한다.
• 마팅게일의 왼쪽 극한을 갖는 역방향 SDE를 통해 예측 가능한 $g$-조건부 기대를 정의한다.
• $\mathcal{E}^{p,g}$-초우량마팅게일의 가족을 구성하고 그 핵심 성질을 유도한다.
• 예측 가능한 설정에서의 슈넬 래핑을 사용하여 가치 함수를 특성화한다.
• RBSDE의 해와 최적 정지 문제 사이의 연결을 첫 번째 성분 $Y$를 통해 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 필터링이 비준비성이 아니고 장애물이 예측 가능할 때 RBSDE는 어떻게 공식화되고 해결될 수 있는가?
• RQ2 이러한 RBSDE의 해에 대한 존재성과 유일성에 필요한 필수 조건은 무엇인가?
• RQ3 예측 가능한 $g$-기대를 사용하여 비선형 최적 정지 문제를 정의할 수 있으며, 이는 최적의 예측 가능한 정지 시점을 갖는가?
• RQ4 예측 가능한 가치 함수는 RBSDE의 해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 프레임워크에서 $\mathcal{E}^{p,g}$-초우량마팅게일이 만족하는 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 드라이버 $g$에 대한 리프시츠 조건 하에서 예측 가능한 장애물이 있는 RBSDE의 해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 예측 가능한 $g$-조건부 기대는 잘 정의되어 있으며 $\mathcal{E}^{p,g}$-초우량마팅게일의 가족을 유도한다.
• 예측 가능한 $\mathcal{E}^{p,g}$-초우량마팅게일을 사용하여 공식화된 비선형 최적 정지 문제에 대해 최적의 예측 가능한 정지 시점이 존재한다.
• 예측 가능한 가치 함수는 RBSDE의 해의 첫 번째 성분 $Y_0$로 특성화된다.
• RBSDE의 해 $Y$는 예측 가능한 강한 우량마팅게일임이 증명되며, 그 멀텐스 분해를 사용하여 유일성을 증명한다.
• 이 프레임워크는 고전적인 최적 정지 이론과 BSDE 이론을 비준비성 설정으로 확장하여 금융 및 확률적 제어 맥락에서 예측 가능한 점프를 모델링할 수 있게 한다.